4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий (док.). Следствия.

Теорема о сложении вероятностей.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А1, А2, А3 равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

.      (3.2.1)

Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что из этих случаев   благоприятны событию , а  – событию . Тогда

Так как события   и  несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и  вместе. Следовательно, событию   благоприятны   случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие   буквой  , и присоединяя к сумме еще одно событие  , легко доказать, что

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:

и докажем, что она будет справедлива для   событий:

Обозначим:

Имеем:

.

Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то

,

откуда

,

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий , равна сумме вероятностей этих событий

Следствие 2. Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Следствие 3. Сумма противоположных событий равна единице, то есть

Если одно событие обозначим через А, то A обозначение обратного события.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

5. Условная вероятность события. Теоремы умножения вероятностей. Их следствия.

Умножение вероятностей независимых событий.

Произведением событий А1,А2..,Аn называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий. Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло ли событие В.

ТЕОРЕМА

Если случайное событие А1,А2,…,Аn независимы, то вероятность совмещения событий равна произведению вероятностей появления событий.

Р(А1*А2*…*Аn)=Р(А1)*Р(А2)*…*Р(Аn)

Зависимые события.

Событие А называется зависимым от В, если вероятность появления события А зависит от того произошло ли В. Условная вероятность – это вероятность, что произойдет событие А, при условии события В (обозначается Р(А\В)или (Рв\А))

ТЕОРЕМА

Вероятность произведения(совмещения) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Р(А*В)=Р(В)*Р(А\В)=Р(А)*Р(В\А)

ТЕОРЕМА

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению их условных вероятностей, относительно вероятностей предшествующих событий

Р(А*В*С*…*N)=P(A)*P(B\A)*P(C\AB)…P(N\ABC….)

6. Теорема сложения вероятностей для совместных событий (док.).

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного их двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB)

Док-во. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

(1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Отсюда (2)

Аналогично имеем

Отсюда (3)

Подставив (2) и (3) в (1), окончательно получим:

P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB)

7. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ (ДОК.). СЛЕДСТВИЕ.