Экзаменационные вопросы по дисциплине «Теория вероятностей»

1. Основные понятия. Событие, вероятность. Достоверные, невозможные, случайные, несовместные события. Полная группа событий.

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием. Вероятность это возможность наступления какого-либо события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может появиться в данном опыте.

Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате опыта.

Случайные события называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте.

События образуют полную группу, если хотя бы одно из них произойдет в опыте.

2. Классическое определение вероятности. Свойства.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.

3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА. УСТОЙЧИВОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

При достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Относительной частотой (Р*) случайного события А называется отношение числа появления данного события к общему числу проведенных одинаково испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.

Устойчивость относительной частоты. При большом числе испытаний относительная частота перестает носить случайный характер. Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев существует постоянное число Р, такое, что относительные частоты появления события А при большом числе испытаний(кроме редких случаев) мало отличается от этого числа Р. При неограниченном увеличении числа опытов относительная частота события А сходится к вероятности Р появления этого события. Относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.