7. Содержание и построение начального курса математики

Арифметический материал составляет главное содержание курса. Основой начального курса является арифметика натуральных чисел и основных величин. Кроме того, в него входят элементы геометрии и алгебраической пропедевтики, которые по возможности включаются в систему арифметических знаний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях и математических отношениях, т. е. элементы алгебры и геометрии не составляют особых разделов курса математики, а органически связываются с арифметическим материалом.

Такая связь дает возможность, с одной стороны, раньше приобщить детей к идеям алгебры и геометрии и с другой — достичь более высокого уровня усвоения младшими школьниками арифметических знаний.

Арифметический материал вводится концентрически. Сначала изучается нумерация чисел первого десятка, которые не подлежат десятичному расчленению, вводятся цифры для записи этих чисел, изучаются действия сложения и вычитания. Затем рассматривается нумерация чисел в пределах 100, раскрывается понятие разряда, позиционный принцип записи чисел, которые подлежат десятичному расчленению, изучается сложение и вычитание двузначных чисел, вводятся два новых арифметических действия: умножение и деление. Далее изучается нумерация чисел в пределах 1000. Здесь рассматриваются три разряда (единицы, десятки, сотни), составляющие основу нумерации многозначных чисел, обобщаются знания об арифметических действиях, вводятся приемы письменного сложения и вычитания. Наконец, изучается нумерация многозначных чисел, рассматривается понятие класса, обобщается знание принципа поместного значения цифр, изучаются приемы письменных вычислений. Таким образом, в курсе выделены четыре концентра: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Одновременно и в тесной связи с рассмотрением нумерации и арифметических действий изучаются другие вопросы: величины, дроби, алгебраический и геометрический материал.

Курс математики строится так, что в процессе его изучения каждое понятие получает свое развитие. Например, при изучении арифметических действий сначала раскрывается их конкретный смысл, затем свойства действий, связи и зависимости между компонентами и результатами действий, а также между самими действиями. Такой подход к введению понятий соответствует возрастным возможностям младших школьников, обеспечивает доступность овладения математическим материалом.

Таковы основные особенности построения начального курса. Рассмотрим теперь его содержание и особенности раскрытия главнейших понятий.

Арифметический материал включает нумерацию целых неотрицательных чисел и арифметические действия над ними, сведения о величинах, их измерении и действиях над ними, понятие о дробях.

Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Раскрывается это понятие на конкретной основе в результате практического оперирования множествами и величинами (длина отрезка, масса, площадь и др.).

В начальных классах дается наглядное представление о дроби. Во II классе вводится понятие доли как одной из равных частей целого (круга, куска шпагата и т. п.), дается запись долей. Арифметические действия занимают центральное место в начальном курсе математики. Он включает раскрытие конкретного смысла арифметических действий, свойств действий, связей и зависимостей между компонентами и результатами действий и между самими действиями, а также формирование вычислительных умений и навыков, умений решать арифметические задачи.

Как и другие математические понятия, каждое арифметическое действие раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над множествами: сложение — на основе операции объединения множеств, не имеющих общих элементов, вычитание — на основе операции удаления части множества (подмножества), умножение — на основе операции объединения множеств одинаковой численности и деление — на основе операции разбиения множества на ряд равночисленных непересекающихся множеств. Такой подход позволяет опереться на опыт детей и создать наглядную основу формируемого знания.

Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий. Это переместительное свойство сложения и умножения, свойства прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы, прибавления суммы к числу, вычитания суммы из числа, прибавления суммы к сумме, вычитания суммы из суммы, умножения числа на сумму и суммы на число, деления суммы на число, умножения числа на произведение, деления числа на произведение.

В связи с изучением арифметического материала вводятся элементы алгебры: на конкретной основе раскрываются понятия равенства, неравенства, уравнения, переменной.

Геометрический материал служит главным образом целям ознакомления с простейшими геометрическими фигурами и развитию пространственных представлений школьников. Поэтому в начальный курс математики, начиная с класса, включены геометрические фигуры: прямые, кривые и ломаные линии, точка, отрезок прямой, многоугольники (треугольник, четырехугольник и др.) и их элементы (вершины, стороны, углы), прямой угол, прямоугольник (квадрат), окружность, круг, центр и радиус круга. Учащиеся должны научиться различать эти фигуры, называть их и выполнять простейшие построения на клетчатой бумаге. Кроме того, они должны овладеть умением находить длину отрезка (I класс), длину ломаной и периметр многоугольника (II класс), площадь геометрической фигуры (III класс). Курс математики предусматривает разнообразные задачи геометрического характера, направленные на формирование пространственных представлений учащихся. Все вопросы геометрии раскрываются на наглядной основе.

В тесной связи с изучением арифметического, алгебраического и геометрического материала раскрывается понятие величины и идея измерения величин. Ознакомление с такими величинами, как длина, масса, время, емкость, площадь, с единицами их измерения и с измерением величин выполняется практически и тесно связывается с формированием понятия числа, десятичной системы счисления и арифметических действий, а также с формированием понятия геометрической фигуры. Вследствие такой связи становится возможным вести обучение, опираясь на наглядные образы, связывая обучение с практической деятельностью детей.

Задачи являются теми упражнениями, с помощью которых прежде всего раскрываются многие вопросы начального курса математики. Например, с помощью решения задач раскрывается конкретный смысл арифметических действий, свойства действий, связи между компонентами и результатами арифметических действий и др. В «Объяснительной записке» к программе указывается, что изучение арифметики натуральных чисел и нуля строится на системе целесообразных задач и практических работ. Это значит, что формирование каждого нового понятия всегда связывается с решением тех или иных задач, требующих применения или помогающих уяснить его значение. Таким образом, задачи являются средством связи обучения математике с жизнью, той сферой приложения математических знаний, которая позволяет обеспечить достаточно разнообразные жизненные ситуации для раскрытия разных сторон понятий. Кроме того, в процессе решения задач учащиеся овладевают практическими умениями и навыками, необходимыми им в жизни, знакомятся с полезными фактами.

Анализ альтер.программ.3 гос. сис-мы нач.обр.: трад., систе­ма Л.В. Занкова, система Д.Б. Эль—В.В. Дав. «Начальная школа XXI века», «Школа 2000»—«Школа 2100», «Гармония» (комплекты), Каждая сис. и комплекты обеспечены своими УМК по уч. предметам, включающим программы, учебники, доп. пособия для учащ, метод-ие руководства для учителя. Особ-сти компл.Учеб-ов«Гармония»(подред.Н.Б. Истом):1- стремление преодолеть разделение трад и РО.2- метод-ое воплощение направ-ия модер-ции шк-го образ-я (гуманиз-я,гуманитар-я,диф-ция,деят и ЛО подход к процессу обучения). Ц. и сист.работы по формир-ю у мл. шк. приемов умственной деят. «Начальная школа XXI века» (под ред Н.Ф. Виногрй) осн. принцип об.: природосообразности. (соответ-ать потреб-ям детей этого возраста) учит-ать типол-ие и индив-ые особенности их по­знав-ой деят-сти и уровень социализации. Учащ-ся в процессе учеб­ного диалога определяют способ построения учебной задачи, обсуждают алгоритм ее решения. Особ.комплекта учеб-в по системе Л.В. Занкова ведущая цель которой оп­тимальное общее развития каждого школьника. Основной путь познания курса математики — индуктивный. по системе Д.Б. Эльконина — В.Б. Давыдова на формир.основ теоретического мышления. Осн-ым содер-ем данного курса мат-ки яв-ся формир-е понятия действит-го чис­ла, которая яв-тся стержневым для всей школьной мат-ки«Школа 2000...» — «Школа 2100». В основу положены ЛО принципы.Культурно ориентир. принципы.Деят-ориентир принципы. Все альтер.программы содержат значитель­но больший объем геом-ого материала, чем тра­д.учебник, при этом значимым отличием яв­-ся работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости (циркуль, уголь­ник, транспортир). Программы И.И. Аргинской и Э.И. Александровой содержат значит-й по объему материал работы с дробями: первая — с обыкн-ми, вторая — с де­сятичными, в том числе с %.Программы Л.Г. Петерсон и В.Н. Рудницкой отлича­ются наибольшим уровнем насыщения курса математи­ки НШ алгебраическим материалом и дро­бями (в том числе и %). Программа и уч.пособия Н.Б. Истоминой яв­ляются наименее загруженными допол-ым к тра­диц-му объему материалом

8. Закрепление знаний, умений и навыков происходит на следующей ступени в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение знаний. Эта система упражнений также должна удовлетворять ряду требований. Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями.

Рассмотрим систему упражнений на закрепление знания о связи между произведением и множителями.

На этапе ознакомления с новыми знаниями учащиеся II класса пришли к обобщению: если произведение двух чисел разделить на первый множитель, то получится второй множи- J тель, а если разделить на второй, то получится первый множитель.

На этапе закрепления этого знания сначала ставится задача добиться осмысления этого правила. С этой целью предлагаются упражнения на непосредственное применение знания:

Вычислите произведения и, пользуясь ими, покажите, что при делении произведения на один из множителей получается другой множитель.

2) По каждому примеру на умножение составьте два примера на деление: 3-4, 8-4, 10 • 7 и т. п.

Затем ставится цель научить детей использовать знание взаимосвязи для решения простейших уравнений вида: х-3=12. Здесь опосредованное применение знаний: учащиеся должны переосмыслить известный им вывод — чтобы найти неизвестный первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель. Далее учащиеся применяют этот новый вывод при выполнении таких упражнений:

1) Найдите неизвестное число:

х-5= 10 6а = 6 k-2=12

2) Произведение равно 8, первый множитель 2. Найдите второй множитель и т. п.

Чтобы предупредить смешение формируемой связи с ранее усвоенной связью между компонентами и результатом действия сложения, надо предусмотреть специальные упражнения на противопоставление. Например, предлагаются уравнения, в которых неизвестно слагаемое или множитель: а-3=12 и а + 3=12. После решения сравниваются уравнения, а также способы их решения.

Далее знание формируемой связи используется для нахождения табличных результатов деления по известным результатам умножения. Вновь предлагаются упражнения:

1) Если известно, что 7-4 = 28, то какие примеры на деление можно решить?

2) Найдите частное, пользуясь примерами на умножение:

15:3 =

18:6 = 3-6=18

12:6 = 6-2=12

3-5=15

В дальнейшем, переходя от одной темы к другой, учащиеся вновь и вновь переосмысливают знание установленной связи.

Каждое новое знание должно быть включено в систему ранее усвоенных знаний. Поэтому на ступени закрепления включаются упражнения в систематизации знаний. Например, после изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся под руководством учителя систематизируют знания о числе, указывая, как образуется число из предыдущего и следующего за ним в натуральном ряду, на сколько оно больше предыдущего и меньше следующего и т. д.

Наряду с усвоением знаний по математике учащиеся должны овладеть вычислительными, измерительными, графическими умениями и навыками, а также умениями решать задачи. Для формирования умений и навыков также используются упражнения: учащиеся выполняют упражнения на вычисление, измерение, построение, решают задачи.

Система упражнений в этом случае также должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего она должна обеспечить осознанное овладение умениями и навыками, т. е. ученик должен осознавать, какие теоретические знания он использует, выполняя вычисления, решая задачи и т. д. Например, умножая 14 на 5, ученик должен понимать, что он сначала заменяет число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, а затем умножает сумму на число:

14-5= (10 + 4) -5=10-5 + 4-5 = 70

Чтобы сформировать прочные умения и навыки, необходимо включить достаточное число упражнений.

Система упражнений должна предусмотреть сопоставление и противопоставление сходных вопросов, чтобы предупредить их смешение. Например, чтобы учащиеся не смешивали свойства умножения суммы на число и прибавление числа к сумме, предлагаются для решения пары примеров вида: (10 + 4)+5 и (10 + 4)-5. После решения сравниваются сами примеры, а затем способы их решения.

Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др. (подробнее об этом будет сказано дальше).

При формировании умений и навыков широко используется метод самостоятельных работ, при этом чрезвычайно полезно предлагать упражнения дифференцированно, учитывая возможности каждого из детей.

8. Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

1. Дидактическая задача этапа. Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения и подвести итоги работы

2. Содержание этапа. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению; проверка понимания учащимися содержания работы и способов ее выполнения, подведение итогов урока

3. Условия достижения положительных результатов. Спокойное, терпеливое объяснение содержания работы, приемов и последовательности ее выполнения. Обязательное и систематическое выполнение этапа в границах урока; умение дать в коротких указаниях порядок выполнения.

4. Показатели выполнения дидактической задачи урока. Правильное выполнение домашнего задания всеми учениками.

5. Требования к ее реализации дидактической задачи урока. Оптимальность объема и сложности домашнего задания. Предупреждение о возможных затруднениях и способах их ликвидации. Повышение интереса к домашнему заданию.

6. Способы активизации на уроке. Дифференциация заданий, творческий характер их выполнения (интервью, защита проектов).

7. Ошибки, допускаемые при реализации. Информация о домашнем задании после звонка. Большой объем и высокая сложность. Отсутствие инструктажа, ясности цели и способов выполнения.

Подведение итогов урока.

1. Дидактическая задача этапа. Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее.

2. Содержание этапа. Самооценка и оценка работы класса и отдельных учащихся. Аргументация выставленных отметок, замечания по уроку, предложения о возможных изменениях на последующих уроках.

3. Условия достижения положительных результатов. Четкость, лаконичность, максимум участия школьников в оценке своей работы.

4. Требования. Адекватность самооценки учащихся и оценки учителя. Осознание учениками значимости полученных результатов и готовность использовать их для достижения учебных целей.

5. Дополнительная активизация. Использование алгоритма оценки работы класса, учителя и отдельных учеников. Стимуляция высказывания личного мнения об уроке и способах работы на нем.

6. Ошибки. Скомканность этапа, подведение итогов после звонка, отсутствие данного этапа. Расплывчатость, необъективность в оценке, отсутствие поощрения.