2.4 Получение законов распределения по опытным данным.

Критерии согласия

Представим что произведено N независимых испытаний, в каждом из которых случайная величина Х приняла некоторое значение х_i, i = 1,2, …, N.

Результаты испытаний сгруппированы по разрядам виде статистического ряда, следующим образом :

Таблица

Границы разрядов гистограммы	х1 ; х2	х2 ; х3	…	хk ; хk+1
Количество попаданий в разряды ni	n1	n2	…	nk

В таблице 2.4 х₁ , х₂ , … х_k+1 - границы разрядов гистограммы;

k – количество разрядов гистограммы;

n₁, n₂,…, n_k – числа попаданий случайной величины х в 1, 2, …, k -й разряды.

Таблица. Результаты измерения потребления электроэнергии

№ п/п	Электро-энергия, кВт.ч.	N п/п	Электро-энергия кВт.ч.	N п/п	Электро-энергия кВт.ч.	N п/п	Электро-энергия кВт.ч.
1	19	2	12	3	21	4	11
5	9	6	27	7	24	8	17
9	14	10	22	11	15	12	29
13	22	14	13	15	14	16	10
17	34	18	17	19	18	20	13

На рис. 2.1 показана гистограмма распределения среднемесячного потребления электроэнергии абонентами г Новочеркасска.

Мера расхождения опытного распределения с теоретическим определяется по формуле:

χ² = ;

где р_i – вероятность попадания случайной величины х в i - й разряд, вычисленная его предполагаемому «теоретическому» распределению.

Распределение χ² зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы:

r = k – s,

где k – число разрядов гистограммы;

s – число независимых условий (связей) накладываемых на частоты n_i.

К таким условиям относятся следующие:

= 1 – обязательное условие равенства единице суммы частот ряда;

Р ис2.1 Гистограмма среднемесячного потребления электроэнергии бытовых абонентов г. Новочеркасска за 2002 год. Объем выборки n = 672.

т.е. , если подбирается такой закон распределения, в котором математическое ожидание равно его оценке ;

, т.е. , если подбирается теоретическое распределение, дисперсия которого равна ее оценке .

В формулах для оценок математического ожидания и дисперсии – это середина i-го разряда гистограммы.

Задача 2.4.1 В таблице 5 приведены результаты экспериментального исследования электрической нагрузки по активной мощности Р(t) трансформатора цеховой трансформаторной подстанции (по показаниям счетчика через пятиминутные интервалы). Весь интервал наблюдаемых значений случайной величины Р разбит на разряды, границы которых указаны в таблице 4. Известны значения n_i – числа попаданий случайной величины Р в i-й разряд.

1. Построить гистограмму случайной величины Р.

2. Определить числовые характеристики статистического распределения: М*[Р] – математическое ожидание и D*[P] – дисперсию.

3. С помощью критерия Пирсона выполнить проверку гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины Р (о нормальном распределении генеральной совокупности).

Указания 1. Уровень значимости принять равным α = 0,05.

2. Для нормального закона распределения число наложенных связей равно 3 ( ∑E_i = 1; D[P] = D*[P]; M[P] = M*[P]).

3. Теоретические частоты Е_i для нормального закона распределения определяются по таблицам значений функций

или

(см. Л[1], Приложение 2 или Л[2] табл. 1 Приложения).

Таблица 5.

№ варианта	Границы разрядов гистограммы, кВт
	535-540	540-545	545-550	550-555	555-560	560-565	565-570	570-575	575-580	580-585	585-590	590-595	595-600
1	1	5	11	25	54	89	80	49	27	17	10	6	2
2	0	3	5	15	26	75	82	35	15	7	3	1	0
3	0	1	4	14	28	64	62	42	15	6	2	1	0
4	0	2	8	20	32	83	88	39	17	10	5	5	0
5	0	0	3	15	32	70	66	30	12	3	1	0	0
6	0	0	2	10	29	46	90	50	32	15	5	2	1
7	1	1	8	20	50	80	83	45	20	13	6	2	1
8	1	5	25	46	88	91	44	28	7	2	1	0	0
9	0	1	3	16	29	55	79	50	31	15	4	1	1
10	0	1	2	12	35	75	71	36	15	5	2	1	0
11	1	4	10	23	51	90	79	45	25	15	9	5	1
12	0	3	8	20	50	85	78	40	22	12	7	3	1
13	1	2	7	21	52	86	82	43	21	10	5	2	1
14	0	1	6	18	48	79	83	50	23	7	3	1	0
15	0	2	10	22	52	88	75	44	20	13	6	2	1
16	1	3	11	25	55	85	82	51	26	16	8	3	1
17	1	2	8	28	56	75	85	78	52	34	16	6	2
18	0	1	2	15	38	72	79	68	41	30	12	5	2
19	0	1	3	17	40	70	82	71	38	22	11	4	1
20	1	2	4	21	42	75	84	70	35	20	9	3	1