2.2 Законы распределения непрерывных случайных величин

Задача 2.2.1 Значения напряжение на шинах подстанции U₁, U₂, ......, U_i, ..., U_n, измеренные в моменты времени t₁, t₂, ..., t_i, ..., t_n (t_{i +1} - t_i = ∆t = const) – есть значения случайной величины, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием М [U] = U_c и среднеквадратическим отклонением σ[U]. (Принято, что напряжение в сети U(t) – стационарный эргодический процесс). Определить вероятность того, что случайная величина U в момент времени t примет значение в диапазоне от 0,95U_н до 1,05 U_н , т.е. не выйдет за пределы ±5% U_н. Построить графики функции распределения и функции плотности вероятности случайной величины U.

Таблица 4

№ вар.	Uн кВ	Uc = M[u] кВ	σ [u] кВ	№ вар	Uн , кВ	Uc = M[u] кВ	σ [u] кВ
1	10	10,3	0,2	14	10	9,8	0,3
2	10	10,2	0,15	15	10	9,7	0,25
3	10	9,9	0,30	16	35	34	0,5
4	6	6,1	0,1	17	35	33	0,6
5	6	6,2	0,08	18	35	36	0,7
6	6	5,95	0,15	19	10	10,4	0,25
7	35	35,7	0,5	20	10	10,25	0,3
8	35	36	0,6	21	10	10,3	0,25
9	35	34,5	0,7	22	6	5,9	0,1
10	35	34,8	0,8	23	6	6,1	0,09
11	10	10,4	0,25	24	6	6,15	0,1
12	10	9,9	0,4	25	10	9,9	0,35
13	10	10,5	0,24

2.3 Приближенная оценка среднеквадратического отклонения для нормального закона распределения. Правило «трех сигм».

Знание математического ожидания m_х и среднеквадратического отклонения σ_х случайной величины Х позволяет приближенно указать диапазон ее практически возможных значений. Для нормального закона распределения Р(m_х-3 σ_х < х < m_х+3 σ_х ) = 0,9973 (см. рис.). Следовательно, с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что наблюдаемые значения случайной величины будут находиться в интервале (m_х-3 σ_х ; m_х+3 σ_х).

Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной вели­чины в прикладной статистике называются правилом «трех сигма». Из этого правила вытекает ориентировочный способ оценки среднеквадратического отклонения случайной величины: определяют максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три или определяют мини­мальное и максимальное значение и интервал между ними делят на шесть.

= (x_max – x_min)/6

Разумеется, что такой приближенный способ может использоваться только если известно, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения и нет других более точных способов определения σ_х.

Пример решения типовой задачи. Известно, что значения напряжения в розетках квартиры измеренные в моменты времени – это значения непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Определить вероятность того, что напряжение в сети в момент времени не выйдет за пределы . Номинальное напряжение в сети .

Построить график функции плотности вероятностей случайной величины и график функции распределения .

Функция плотности вероятностей случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и имеет вид:

.

Для приблизительного построения графика функции можно воспользоваться правилом «трех сигм» и вычислить несколько значений функций на интервале от до , т.е. на интервале от до 218+18=236B.

Примем в качестве начальной и конечной точек для построения 203В и 233В и вычислим значения функции в точках 203В, 205В,… 233В, т.е. с шагом равным 0,5

Таблица 2.1.

	200	203	206	209	212	215	218	221	224	227	230	233	236
	-3	-2,5	-2	-1,5	-1,0	-0,5	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3
	0,0007	0,003	0,009	0,022	0,040	0,059	0,0665	0,059	0,040	0,022	0,009	0,003	0,0007
	0,499	0,494	0,477	0,433	0,341	0,191	0,00	0,191	0,341	0,433	0,477	0,494	0,499
	0,001	0,006	0,023	0,067	0,159	0,309	0,5	0,691	0,841	0,933	0,977	0,994	0,999

График функции плотности вероятностей показан на рис. 2.1.

Определим также значения функции распределения в этих же точках. Для удобства вычисления функции по формуле ( ), а также для определения значений функции из таблицы 1 приложения вычислим значения безразмерного параметра .

Значения и приведены в таблице 3.

Для

Для

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Для

Значения приведены в таблице 3.

По значениям параметра в таблице 1 Приложения находим значения функции

и т.д.

Значения функции определяется по значениям функции следующим образом:

а) при отрицательных значениях

б) при положительных значениях t

График функции показан на рис. 2.2.

Для определения вероятности того, что напряжение в сети не выйдет за пределы необходимо определить граничные значения диапазона:

Далее необходимо привести границы интервала и безразмерным величинам , т.е. к границам диапазона безразмерной случайной величины t, распределенной по нормальному

Значения функции распределения вида:

Приведены в таблице1 приложения. Значения функции для точек равны:

Вероятность того, что случайная величина напряжения в сети не выйдет за пределы определяется следующим образом:

=0,3790

Задача 2.2.2 Длительность простоев дуговой сталеплавильной печи t_пр распределена по экспоненциальному закону с параметром  Определить вероятность того, что:

а) простой печи составит менее b часов и более a часов P (a < t_пр < b);

б) простой печи превысит b часов P ( t_пр > b) .

Значения a, b, заданы в таблице 4.

Таблица 4

№ вар.	λ [1/час]	а [час]	B [час]	№ вар.	λ [1/час]	а [час]	б [час]
1	0,5	0,8	1	13	0,6	0,5	1,5
2	0,5	0,9	1,5	14	0,6	0,8	1,8
3	0,5	0,9	1,7	15	0,6	0,9	2,2
4	0,5	1	1,5	16	0,6	0,8	2,0
5	0,4	0,7	2,0	17	0,8	0,5	2,5
6	0,4	1,2	2,2	18	0,8	0,5	2,0
7	0,4	1,0	2	19	0,8	0,8	2,5
8	0,4	1,2	2,5	20	0,8	1,0	2,0
9	0,25	1	2	21	1,0	0,5	2,5
10	0,25	0,9	2,5	22	1,0	0,5	2,0
11	0,25	1	2,2	23	1,0	0,4	2,2
12	0,25	1	2,5	24	1,0	0,3	1,5
				25	0,9	0,4	1,8