5 Математический маятник
Математический маятник – физическая модель маятника, в которой материальная точка совершает колебания на длинной тонкой нерастяжимой нити.
Математический маятник – частный случай физического маятника. Для физического маятника период равен:
.
По теореме Штейнера:
,
где Jc – момент инерции материальной точки. Тогда период колебаний математического маятника:
.
А собственная частота колебаний математического маятника будет равна:
.
6 Затухающие колебания
Если к механической колебательной системе не подводится энергия, то при наличии сил трения механическая энергия преобразуется в тепло, и колебания затухают.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
при
F(t)=0.
Решение этого уравнения ищется в виде:
.
При малых колебаниях β<<ω0, поэтому
.
Тогда общее решение уравнения затухающих колебаний имеет вид:
.
После выделения действительной части получаем частное решение уравнения затухающих колебаний:
,
где
–закон изменения
амплитуды затухающих колебаний (рис.
9.5).
Характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания, численно равный логарифму отношения двух последующих амплитуд:
.
Энергетической характеристикой затухания является добротность колебательной системы, которая характеризует относительные потери энергии в системе за один период:
,
где W – запасенная энергия,
ΔW – потери энергии за один период.
Добротность колебательной системы можно вычислять по формулам:
,
где Ne– количество колебаний системы за время релаксации.
Время релаксации – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
7 Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.
Уравнение вынужденных колебаний:
.
Координата тела при вынужденных колебаниях отстает по фазе от внешней вынуждающей силы на величину . Если сила изменится по закону:
,
то координата тела будет изменяться по закону:
.
8 Резонанс
Если поддерживаются колебания с собственной частотой, то они оказываются особенно значительными. Если частота вынуждающей силы равна, или почти равна, собственной частоте системы, то следует ожидать интенсивных колебаний, связанных с резонансом (рис. 9.6).
Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний системы.
Отличие
вынужденных колебанийот вынужденных
резонансных колебаний определяется
отношением частоты возбуждения к низшей
собственной частоте системы.С
обственную
частоту вынужденных колебаний называют
резонансной или характеристической.
Р
.
Если
коэффициент затухания
,
то резонанс невозможен и спектр колебаний
является релаксационным.
9 Автоколебания
Огромный интерес представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Поэтому используются автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.
Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в определенный момент времени (маятниковые часы). Энергия берется за счет раскручивающейся пружины либо за счет опускания груза.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Колебания воздуха в духовых инструментах, органных трубах, струны смычковых музыкальных инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т.д. возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки и т.д. Примерами автоколебательных систем являются двигатель внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый или транзисторный генератор.
ВОЛНЫ
План
Характеристики волны.
Уравнение бегущей волны.
Волновое уравнение.
Принцип суперпозиции волн.
Интерференция волн.
Стоячие волны.
Звуковые волны.
Эффект Доплера.
Примеры проявления и использования волновых явлений.
Волна – изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве.
Волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины – например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры (рис. 10.1).
По своему характеру волны подразделяют на:
по признаку распространения в пространстве: стоячие, бегущие.
по характеру волны: колебательные, уединённые (солитоны).
по типу волн: поперечные, продольные, смешанного типа.
по законам, описывающим волновой процесс:линейные, нелинейные.
по свойствам субстанции: волны в дискретных структурах, волны в непрерывных субстанциях.
по геометрии: сферические (пространственные), одномерные (плоские), спиральные.
Отличие колебания от волны. Бегущие волны, как правило, способны удаляться на значительные расстояния от места своего возникновения (по этой причине волны иногда называют «колебанием, оторвавшимся от излучателя»).
В основном физические волны не переносят материю, но возможен вариант, где происходит волновой перенос именно материи, а не только энергии. Такие волны способны распространяться сквозь абсолютную пустоту. Примером таких волн может служить нестационарное излучение газа в вакуум, волны вероятности электрона и других частиц, волны горения, волны химической реакции, волны плотности реагентов, волны плотности транспортных потоков.
Создавая теорию света, Христиан Гюйгенс в 1690 г. систематизировал и обобщил основные понятия теории волн.