1 Механические колебания.

Уравнение малых колебаний

В общем случае колебаниями называют любые периодические движения, ограниченные в пространстве. Из всех возможных выделяют гармонические колебания, реализующиеся при малых амплитудах.

П усть на тело, помещенное в вязкую среду (рис. 9.1), действуют постоянная во времени сила и упругая сила . В этом случае при малых колебаниях возникает сила вязкого трения:

.

Запишем II закон Ньютона для тела, массой m, помещенного в вязкую среду:

,

,

.

Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение малых колебаний.

Каждое слагаемое этого уравнения делим на m:

,

где – коэффициент затухания,

– частота собственных колебаний.

С учетом коэффициента затухания и частоты собственных колебаний дифференциальное уравнение малых колебаний запишется в виде:

.

2 Свободные гармонические колебания

В случае отсутствия сопротивления среды, т.е. затухания ( ), уравнение малых колебаний принимает вид уравнения гармонических колебаний или уравнения гармонического осциллятора:

.

Осциллятор (от лат. – качаюсь) – система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Понятие осциллятора играет важную роль в теории твёрдого тела, электромагнитных излучений, колебательных спектров молекул. Примеры простейших осцилляторов – маятник и колебательный контур.

Решение уравнения малых колебаний ищется в виде:

, ,

.

Так как , то . Следовательно, , а .

Используя формулу Эйлера: , выделяем вещественную часть и получаем решение гармонических колебаний в виде:

,

где a₀ – амплитуда – наибольшее отклонение от положения равновесия;

( ) – фаза колебаний – характеризует состояние системы в любой момент времени;

φ₀ – начальная фаза – показывает состояние системы в начальный момент времени;

ω₀ – циклическая частота колебаний – количество колебаний за 2π секунд, :

,

υ – частота колебаний – количество колебаний в единицу времени (за одну секунду), ;

Т – период колебаний – время одного колебания, :

.

3 Пружинный осциллятор

Собственная частота колебаний пружинного осциллятора (рис. 9.2) равна:

.

Тогда уравнение гармонических колебаний пружинного осциллятора принимает вид:

,

а его период колебаний определяется по формуле:

.

4 Физический маятник

Физический маятникпредставляет собой твердое тело, совершающее колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс под действием силы тяжести.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения момент силы тяжести сообщает телу угловое ускорение:

.

По определению момента силы момент силы тяжести равен:

,

где – плечо силы тяжести .

По определению углового ускорения:

.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения можно переписать в виде:

.

Для малых колебаний (φ << 1рад) выполняется приближение: (рад). Поэтому можно записать:

.

Разделим последнее уравнение на Jи сравним с уравнением гармонического осциллятора:

.

Из сравнения видно, что собственная частота колебаний физического маятника равна:

,

где – момент инерции маятника относительно оси вращения, a – расстояние от оси вращения до центра масс. Тогда период колебаний физического маятника равен:

.