15 Гироскоп и его свойства

15.1 История создания гироскопа

Г ироскоп– симметрично быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое положение в пространстве.

Гироскоп – устройство, способное реагировать на изменение углов ориентации связанного с ним тела относительно инерциальной системы координат, как правило, основанное на законе сохранения вращательного момента (момента импульса). Все навигационные приборы содержат гироскопы (автопилот, системы наведения, гирокомпасы). Планета Земля также гироскоп, т.к. ось Земли направлена на Полярную звезду.

15.2 Свойства гироскопа

Г ироскопы обладают следующими свойствами.

1. Свободный гироскоп – гироскоп, для которого алгебраическая сумма моментов сил, действующих на него, равна нулю (моменты сил скомпенсированы либо отсутствуют). Свободный гироскоп сохраняет свою ориентацию в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в любом направлении, его помещают вкарданов подвес (рис. 6.24).

2. Все три подвеса пересекутся в одной точке O – центре карданного вала, и подвес может вращаться относительно этих трех взаимно перпендикулярных осей. Если центр масс гироскопа совпадает с центром карданного подвеса, то гироскоп уравновешен.

3. Г

   ω

   ироскопический эффект – эффект, заключается в том, что в отличие от невращающегося твердого тела гироскоп вращается в плоскости, перпендикулярной линии действия пары сил (рис. 6.25).

Силы лежат в плоскости OZ( ), а . Это объясняется уравнением динамики вращательного движения твердого тела:

.

Т.к.dt скалярная величина, то . Поэтому по правилу правого винта определяют направление вектора момента силы , а направление вектора момента импульса будет ему параллельным.

4. Прецессия гироскопа – медленное вращение оси гироскопа под действием внешних моментов сил, действующих на гироскоп (рис. 6.26).

По основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела (рис. 6.27):

,

Угловой скоростью прецессии называют первую производную угла поворота оси гироскопа φ по времени:

.

Тогда угловая скорость прецессии будет равна:

.

15.3 Гирокомпас

Гирокомпасом называют гироскопическое устройство, позволяющее ориентироваться по сторонам света без магнитного поля.

Гироко́мпас (в морском профессиональном жаргоне – гирокомпа́с) – механический указатель направления истинного (географического) меридиана, предназначенный для определения курса объекта, а также азимута (пеленга) ориентируемого направления. Принцип действия гирокомпаса основан на использовании свойств гироскопа и суточного вращения Земли. Основным элементом является гироскоп с пониженным центром тяжести. За счет этого возникает момент сил, под действием которого гирокомпас прецессирует в плоскость меридиана, т.е. поддерживает свою ось в плоскости меридиана, ориентируя судно по частям света.

Гирокомпасы широко применяются в морской навигации и ракетной технике. Они имеют два важных преимущества перед магнитными компасами.

1. Гирокомпас – это по существу гироскоп, то есть вращающееся колесо (ротор), установленное в кардановом подвесе, который обеспечивает свободную ориентацию оси ротора в пространстве.

2. Предположим, ротор начал вращаться вокруг своей оси, направление которой отлично от земной оси. В силу закона сохранения момента импульса, ротор будет сохранять свою ориентацию в пространстве. Поскольку Земля вращается, наблюдатель, неподвижный относительно Земли, видит, что ось гироскопа делает оборот за 24 часа. Такой вращающийся гироскоп сам по себе не является навигационным средством. Для возникновения прецессии ротор удерживают в плоскости горизонта, например, с помощью груза, удерживающего ось ротора в горизонтальном положении по отношению к земной поверхности. В этом случае сила тяжести будет создавать крутящий момент, и ось ротора будет поворачиваться на истинный север. Поскольку груз удерживает ось ротора в горизонтальном положении по отношению к земной поверхности, ось никогда не может совпадать с осью вращения Земли (кроме как на экваторе).

Гирокомпас может выдавать ошибки измерения. Например, резкое изменение курса, скорости или широты могут вызывать девиацию, и она будет существовать до тех пор, пока гироскоп не отработает такое изменение. На большинстве современных судов имеются системы спутниковой навигации (типа GPS) и/или другие навигационные средства, которые передают во встроенный компьютер гирокомпаса поправки.

1. .

Для всех тел, участвующих в движении, записываем II закон Ньютона в векторном виде:
Запишем эти системы уравнений в проекциях на ось OХ:
Блок не вращается потому, что натяжение нити по обе стороны от блока одинаково.	Так как причиной вращения блока является момент разности натяжения нити по обе стороны от блока, то к системе уравнений необходимо добавить ещё одно: .
Решая полученную систему уравнений, получим:	Решая полученную систему уравнений, получим: .

Сравнивая полученные формулы (2.5), (2.6) и (2.7) с формулами (1.4) и (1.5), следует отметить, что ускорение грузов при вращении блока меньше, чем без вращения, и уменьшается с увеличением массы блока. Момент инерции вращающихся тел можно назвать количест­венной мерой инертности тел при вращательном движении. Силы натяжения нитей при вращательном движении блока меньше, чем при неподвижном блоке, и обратно пропорциональны мас­се блока. Если блок не вращается, то силы натяжения по обе стороны от блока одинаковы, а если блок вращается, тогда причиной вра­щения блока будет возникающий момент разности натяжения нити по обе стороны от блока.

Задача 2

К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 мприложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения M = 4,9 Нм. Найти массу m диска, если известно, что он вращается с постоянным угловым ускорением ε = 10 рад/с^2.

Решение

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения для тел с закрепленной осью вращения: результирующий момент сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на сообщаемое этим моментом угловое ускорение:

,

где М – результирующий момент сил, действующих на тело: J – момент инерции диска: Следовательно:

Задача 3

Горизонтальная платформа массой М = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая n₁ = 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой скоростью ω₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Определить работу A по изменению угловой скорости платформы. Считать платформу круглым однородным диском с радиусом R₁ м, а человека – точечной массой.

Решение

Согласно закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел не изменяется при любых взаимодействиях между телами данной системы:

Это уравнение является векторным. Поэтому для решения задачи выбирают вертикальную ось OZ, относительно которой записывают результирующий момент импульса тел системы до и после взаимодействия в проекциях на эту ось:

где – момент инерции человека, стоящего на краю платформы (как для материальной точки), – момент инерции человека, стоящего в центе платформы (r = о), – момент инерции платформы (как для диска), – угловая скорость платформы до перехода человека в центр платформы, ω₂– угловая скорость платформы после перехода человека в центр платформы. Тогда

Работа по изменению угловой скорости платформы равна изменению ее кинетической энергии: .

Тогда:

.

СТАТИКА. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

План

1. Статика.

2. Центр тяжести тела.

3. Условия равновесия.

4. Теория рычага Архимеда.

5. Примерырешения задач.

1 Статика

Статика (от греч. – неподвижный) – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел и механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

2 Центр тяжести тела

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжестимеханической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

Е сли размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где – вес телаx_i, y_i, z_i – координаты элементарной частицы, весом Р_i;.  

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при раз­биении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р_i. Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x_i, y_i, z_i при этом мо­гут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении ко­ординат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в ре­зуль­тате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется оп­ределенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае тре­бует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.