7 Момент импульса вращающегося твердого тела с
закрепленной осью вращения
Найдем полный момент импульса твердого тела (рис. 6.8):
Таким образом, полный момент импульса твердого тела равен сумме моментов импульсов всех частиц mi, составляющих тело:
.
8 Основное уравнение динамики вращательного движения
твердого тела с закрепленной осью вращения
Z-составляющая момента импульса твердого тела (рис. 6.8)равна сумме проекций моментов импульсов элементарных масс на ось Z:
,
илипроизведению угловой скорости на сумму произведений элементарных масс на квадрат радиуса вращения их до оси вращения.
Сумма произведений элементарных масс на квадрат радиуса вращения их до оси вращения называется моментом инерции твердого тела и зависит от распределения массы в твердом теле:
.
Следовательно, Z-составляющая момента импульса с закрепленной осью вращения равна:
.
Тогда, основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в другом виде (через момент импульса):
,
– уравнение
моментов
или основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения:Z-составляющая момента сил, действующих на твердое тело при движении с закрепленной осью вращения, равна произведению момента инерции на Z-составляющую углового ускорения.
9 Момент инерции твердого тела
Момент инерции – скалярнаяфизическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Для определения момента инерции твердое тело разбивают на элементарные массы Δmi(рис. 6.9). Тогда, как было показано в п. 8, моментом инерции твердого теланазывается сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния массы от оси вращения: .
В
дифференциальной форме момент инерции
равен:
.
Если масса в теле распределена непрерывно, то удобно перейти к интегрированию. Интегрирование выполняется по всему объему, если масса распределена непрерывно.
Если
,
тогда:
.
Окончательно, момент инерции сплошных тел определяется по формуле:
.
В Системе интернациональной момент инерции измеряется в:
.
10.1 Момент инерции материальной точки
Момент инерции материальной точки (рис. 6.10) вычисляется по определению момента инерции:
.
Выбираем элемент Δmiна поверхности кольца или цилиндрической поверхности (рис. 6.11). Результирующий момент инерции равен:
.
10.3 Момент инерции диска
Диск разбивается на кольца радиуса r и толщиной dr (рис. 6.12). Масса этих колец равна:
Т.к.
масса диска равна:
,
то
.
Тогда:
.
Окончательно, момент инерции диска или сплошного цилиндра равен:
.
10.4 Момент инерции шара
Момент инерции однородного шара радиуса R (рис. 6.13) рассчитывается по формуле:
.
10.5 Момент инерции стрежня
1) Если ось вращения проходит через центр масс стержня (рис. 6.14), то его момент инерции определяется по формуле:
.
2) Если ось вращения проходит через один из концов стержня (рис. 6.15), то в этом случае момент инерции стержня будет равен:
.
11 Теорема Гюйгенса-Штейнера
Теорема Гюйгенса-Штейнера названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера (1796-1863) и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса (1629-1695). Ученые независимо друг от друга определили момент инерции твердого тела для случая, когда ось вращения не проходит через центр масс тела.
Е
сли
ось вращения твердого тела не проходит
через центр масс, тогда момент инерции
твердого тела относительно любой
произвольной оси равен сумме момента
инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс, и произведения массы
тела на квадрат расстояния между этими
параллельными осями (рис.
6.16):
.
Теорема Гюйгенса-Штейнера применяется для расчета маятниковых часов; в строительных расчетах геометрического момента инерции, не связанного с движением материала, а который отражает степень жесткости сечения. Например, для вычисления радиуса инерции, прогиба балки и т.д.