Метод асимптотических разложений

В случаях, когда нельзя получить начальное приближе­ние решения Хо, положив е=0, или при вырожденности матрицы

можно получить решение в виде ряда

где φ—некоторые функции, зависящие от малого параметра, которые строятся таким образом, чтобы выполнялось условие

Ряд при этом называется асимптотическим разложе­нием решения х.

Статическая характеристикапредставляет собой зависимость установившегося значения выходной величины объекта от положения регулирующего органа.

19 Основными методами создания ММ на макроуровне являются инвариантные методы. Они предполагают разбиение всей систе-мы на отдельные элементы, описание свойств каждого элемента на уровне взаимодействия их между собой с помощью ММ и по-следующее объединение их в единую структуру на основе связей между однотипными фазовыми переменными. Обычно процедура выделения элементов выполняется человеком, а составление об-щей системы уравнений для полученной структуры объекта воз-лагается на ЭВМ.

Математические модели элементов получают одним из способов, рассмотренных выше. Уравнения, входящие в ММ элемен­тов, называются компонентнымы. Они отражают законы функцио-нирования элемента и связывают, как правило, разнородные фа-зовые переменные, относящиеся к этому элементу. Так, уравне-ние второго закона Ньютона связывает силу и ускорение. Уравне­ния могут быть алгебраическими или дифференциальными, линейными или нелинейными.

Для объединения элементов в систему используются топологи-ческие уравнения. Они отражают способ связи элементов между собой в составе системы. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т. п. Например, уравнения равновесия (принцип Д 'Аламбера) устанавливают, что сумма сил (моментов), действующих на тело с учетом инерционных, равна нулю. Топологические уравнения свя­зывают однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным

элементам системы. Их получают на основе сведений о структуре системы.

Рис. 2.3. Схема одномассо­вой динамической системы

20

1.2 Классический метод

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.

21

1.3 Операторный метод анализа переходных процессов

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

 ,

где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.

22

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

f(x) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. f(x) и F(p)однозначно определяются друг относительно друга, тоесть если Вы знаете f(x), то всегда можете узнать F(p), и наоборот, если знаете F(p), то всегда можете получить f(x).

Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения очень многих задач в области математики, экономики, радиотехники, геометрии, теории управления, микропроцессоров, теории вероятности, теории массового обслуживания и много другого. Часто для решения задачи достаточно получить преобразование Лапласа от искомой функции (именно здесь и пригодится таблица преобразований Лапласа). Также преобразование Лапласа используют при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, для решения интегральных уравнений, вычисления несобственных интегралов, для представления сигнала в спектральной области и многого другого!

Если в преобразовании Лапласа или таблице преобразований Лапласа Вам что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады Вам помочь!

Таблица преобразований Лапласа, таблица Лапласа