15 Вопрос

Узловой метод получения математических моделей систем

Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых потенциалов, в качестве топологических уравнений - уравнения типа первого закона Кирхгофа.

 (7),

где  - вектор переменных, величин типа потенциала, характеризующих состояние узла (скорости, давления, температуры); I - вектор переменных величин типа потока (токи, силы, расходы, тепловые потоки).

Топологические уравнения типа (7) могут быть получены с помощью матрицы инциденций А:

 (8)

Из уравнений обобщенного метода получения топологических уравнений уравнение (8) может быть выведено следующим образом. В эквивалентную схему объекта вводятся фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым (базовым может быть любой узел эквивалентной схемы; как правило, это узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей). Проводимости этих ветвей равны нулю, т. е. переменная типа I в этих ветвях равна нулю. В дерево включается только эти фиктивные ветви.

 

Рис. 5. Матрица инциденций графа.

 

Для графа, изображенного на рис. 5, без учета ветвей, отмеченных пунктиром, построим матицу инциденций А (таблица 7).

 

Таблица 7.

	а	б	в	г	д	е	ж	з	и
	-1	+1
		-1	+1	+1
			-1		+1	+1
				-1	-1		+1
						-1		+1	+1
							-1	-1

Для этого же графа с учетом того, что ветви, отмеченные пунктирными линиями, являются его деревом, построим М-матрицу (таблица 8).

Таблица 8.

	к	л	м	о	н	п
а	+1
б	-1	+1
в		-1	+1
г		-1		+1
д			-1	+1
е			-1		+1
ж				-1		-1
з					-1	+1
и					-1

Фиктивные ветви в эквивалентной схеме имеют направление от небазового узла к базовому.

Сравним полученную М-матрицу с матрицей инциденций А. Если каждой фиктивной ветви поставить в соответствие узел, из которого она выходит, то  .

Преобразуем общие топологические уравнения:

 (1)

 (2)

Так как ветви дерева фиктивные, то  и из уравнения (2) получим  , где I - вектор переменных типа потока реальных ветвей.

Из уравнения (1) получим уравнение связи переменных типа потенциала  с переменными типа разности потенциалов U на реальных ветвях. Так как  , то  или  .

Рис. 6. Граф.

 

В узловом методе в вектор неизвестных включается вектор  или  , компонентные уравнения алгебраизуются так же, как и в табличном методе, но накладывается ограничение на вид компонентного уравнения: оно обязательно должно быть представлено в виде зависимости переменной типа потока от переменной типа потенциала, т.е.  , либо от времени.

Тогда алгебраизованная и линеаризованная система уравнений приобретает вид

 (9)

где  - матрица частных производных компонентных уравнений по переменным типа разности потенциалов; К - вектор невязок компонентных уравнений.

Исключим из вектора неизвестных подвекторы  и  . Из первого уравнения системы (9) имеем  . Подставим это значение в третье уравнение системы, а полученный результат - во второе:  , или

 (10)

где  - матрица Якоби (матрица узловых проводимостей), алгоритм экономического вычисления которой будет рассмотрен ниже;  - вектор сумм переменных типа потока в узлах схемы.

Уравнение (10) и есть линеаризованная MMС для узлового метода.

Рассмотрим, что представляет собой матрица  .

Для графа, показанного на рис. 6, построим матрицу инциденций (таблица 9), приняв за базовый узел 5.

Таблица 9

	а	б	в	г	д	е
1	-1	-1		+1
2		+1	-1
3			+1	-1	-1
4					+1	-1

Матрица Y₃₁ при оговоренной структуре компонентных уравнений будет диагональной с размерностью, равной количеству ветвей. Для удобства обозначим  именем ветви, тогда:

Покажем, что элементы матрицы Y есть не что иное, как узловые проводимости  . Узловой поток

Поток в ветви считается положительным, если направлен от узла:

Предполагая, что  ,  ,  , получим  , т. е. элемент y₁₁ и матрицы Y.

Аналогично можно определить остальные элементы матрицы. Рассмотрим экономичную процедуру формирования матрицы Якоби: поочередно выбирается каждая ветвь эквивалентной схемы. Пусть очередная k-я ветвь включена между узлами с номерами i и j. Тогда проводимость этой ветви  даст слагаемое в элементы матрицы  и  со знаком плюс, а в элементы  и  - со знаком минус.

Отличительная черта узлового метода - простое формирование ММС, имеющих в своем составе многополюсные элементы. Допустим, есть элемент, включенный между тремя узлами с номерами i, j, k. Тогда этот элемент даст слагаемые в элементы матрицы Якоби:

Примечание. В матрице Якоби многополюсник представлен только своими внешними узлами, в то время как может иметь и внутренние.

При применении узлового метода в эквивалентной схеме допускаются и зависимые ветви, но аргументами функциональных зависимостей должны быть только элементы вектора  . Допустим, переменная типа потока в k-й ветви, включенной между узлами с номерами i и j, зависит от переменных величин типа потенциала в l-м m-м узлах:

.

Тогда эта зависимость приведет к появлению следующих элементов матрицы:

 

Достоинство узлового метода - простота формирования матрицы Якоби и низкий порядок получаемой системы уравнений, поскольку именно для этого метода характерно предварительное исключение большого числа неизвестных из обобщенного базиса.

Недостаток узлового метода - ограничения, накладываемые на тип используемых элементов: в узловом методе, запрещены идеальные источники переменной типа разности потенциалов, а также ветви, зависимые от переменных типа потока. Эти недостатки в узловом методе можно устранить введением специальных ветвей, которые не должны искажать физических процессов в объекте. Последовательно с идеальным источником типа разности потенциалов включается ветвь типа R, благодаря чему этот источник можно свести к источнику типа потока (рис. 8).

 

Рис. 8. Преобразование источника типа Е в источник типа I.

 

Последовательно с ветвями, потоки через которые являются управляющими, включается ветвь, у которой связь между переменными типа потока и типа разности потенциалов - линейная, т. е. ветвь типа R. Тогда зависимость от переменной типа потока через ветвь может быть заменена зависимостью от разности потенциалов на этой вспомогательной ветви.

Объясним сказанное. Пусть есть зависимый источник потока с компонентным уравнением  , где  - поток через управляющую ветвь, последовательно с ней включается ветвь типа R с компонентным уравнением  тогда компонентное уравнение зависимого источника можно записать в виде  .

Преобразования эквивалентной схемы, выполняемые для снятия ограничений в узловом методе, не всегда удобны для пользователя, более формально подобные ограничения снимаются в модифицированном узловом методе. Он получается, если базис узлового метода расширить переменными типа потока управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Поскольку увеличивается количество неизвестных, соответственно должно увеличиться количество уравнений. Уравнения узло­вого метода дополняются компонентными уравнениями управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Аддитивный вклад модели в левую и правую ча­сти системы уравнений  :

Здесь  и  - потенциалы узлов 1 и 2, к которым подключен источник; I_Е - ток, протекающий через источник (значения I_Е определяются по результатам предыдущих итераций);  - приращения соответствующих переменных.

Достоинство модифицированного узлового метода - получение ММС сравнительно невысокого порядка при практически любых зависимых ветвях, недостаток - дискретизация компонентных уравнений реактивных ветвей методами интегрирования, в результате чего смена метода интегрирования может привести к необходимости смены всех подпрограмм элементов, содержащих реактивные элементы, т. е. библиотека методов интегрирования САПР в этом случае жестко связана с библиотекой моделей элементов.