Как определить вероятность попадания результата измерений в заданный интервал?

Вероятность P того, что отдельный результат измерения окажется в интервале [x₁; x₂] равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения вероятности p(x), осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала (рисунок 2)

Рисунок 2 – Определение вероятности попадания отдельного значения

в заданный интервал по функции плотности распределения вероятности

Функция распределения вероятностей случайной величины определят вероятность того, что случайная величина (отдельный результат измерения х) примет значение меньше ее аргумента. Следовательно, вероятность того, что результат измерения окажется в интервале [x₁; x₂], равна разности значений F(x) на границах этого интервала (рисунок 2).

.

Рисунок 2 – Определение вероятности попадания отдельного значения в заданный интервал по функции распределения вероятности

Какова последовательность обработки результатов измерений?

Для повышения точности измерений, исключения ошибок и из­вестных систематических погрешностей рекомендуется проводить измерения многократными наблюдениями, число которых должно быть не менее трех. Порядок обработки результатов пря­мых многократных измерений и оценки их погрешностей регламен­тирует ГОСТ. При статистической обработке результатов наблюдений выполняют операции:

• исключают известные систематические погрешности из резуль­татов наблюдений;

• вычисляют среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

• находят оценку среднего квадратического отклонения резуль­тата измерения;

• устанавливают доверительные границы случайной погрешности результата измерения (при этом проверяют гипотезу о том, что ре­зультаты наблюдений принадлежат нормальному распределению);

• исключают из ряда наблюдений грубые погрешности.

Как вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений?

Результат наблюдений, в который введены по­правки с целью устранения систематических погрешностей, считается исправленным. Среднее арифметическое из полученных при измерении от­дельных единичных наблюдений вычисляют по формуле:

, (2.20)

где — результат наблюдения; п — число единичных наблюдений.

Если во всех результатах содержится постоянная систематиче­ская погрешность, допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Такая запись и подсчет удобно лишь при незначительном количестве исходных данных. В случае большого их количества целесообразно использовать другой способ.

Пусть произведено п испытаний, в которых случайная величина Х приняла раз значение , раз значение , раз значение , причем . Тогда среднее значение случайной величины определится как среднее арифметическое этих значении:

(2.27)

или

(2.28)

Отметим, что отношение есть частость появления значения Х (статистическая вероятность) и, обозначив каждое из них через , получим

(2.29)

Например, пусть , , , , . Найти . Рассмат-ривая этот ряд величин, заметим, что три из них равны 20, одна — 22, одна — 24. Поэтому частота появления 20 равна 3, 22—1 и частота появления 24—1. Данные сведем в табл. 7.1.

Таким образом,

При большом числе испытаний , где — значение математической вероятности.

Таблица 2.1

20	3	0,6	12,0
22	1	0,2	4,4
24	1	0,2	4,8
Итого	5	1,0	21,2

С учетом этого формула (2.29) примет вид

(2.30)

Эта формула используется в тех случаях, когда число членов вариационного ряда невелико. В тех случаях, когда используются интервальные ряды, т. е. группируют значения в интервалы, используют формулу

(2.31)

где — значение х в середине интервала.

Для облегчения вычислений при большом количестве интервалов удобно использовать метод произведений, приводящий к следующей формуле

(7.32)

где — выбранное условное начало, обычно равное значению Х в середине интервала; — значение, равное разности порядковых номеров между каждым интервалом, т е. ; h — ширина интервала.

Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины, полученное суммированием произведений всех ее возможных значений на их вероятности, называют математическим ожиданием и обозначают .

Среднее арифметическое значение будет приближаться к математическому ожиданию с увеличением числа испытаний в серии, т. е. , при .

Математическое ожидание – это такая величина, около которой колеблется среднее значение случайной величины, найденное для каждой серии испытаний. В то же время математическое ожидание и среднее значение случайную величину характеризуют не полностью. Рассмотрим пример, в котором дискретные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

	-0,04	+0,04	Y	-100	+100
	0,3	0,3		0,3	0,3

Математические ожидания этих величин равны:

;

.

Математическое ожидание обеих случайных величин одинаково, а значения величин различны, причем значения были ближе к математическому ожиданию, чем . Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить о возможных ее значениях и о том, как они отличаются друг от друга и как они группируются (рассеиваются) вокруг своего математического ожидания или среднего значения.

Для более полной характеристики случайной величины используется такая характеристика как дисперсия , определяющая величину рассеивания случайной величины от ее математического ожидания.