Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение неразрезной балки.

2. Определение степени статической неопределимости балки.

3. Выбор основной системы и построение эквивалентной системы.

4. Записать уравнения 3-х моментов в общем виде, а также для балок постоянного сечения. Физический смысл этих уравнений.

5. Дать понятие фиктивной опорной реакции. Примеры определения фиктивных опорных реакций от различных типов нагружения.

6. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в произвольном сечении неразрезной балки.

7. Порядок построения окончательной эпюры изгибающих моментов.

8. Порядок построения окончательной эпюры поперечных сил.

9. Порядок определения опорных реакций в неразрезной балке.

10. Расчет неразрезной балки с защемленным концом при помощи уравнения 3-х моментов (отличия расчета).

11. Расчет неразрезной балки с консольными участками при помощи уравнения 3-х моментов (отличия расчета).

Порядок расчета неразрезной балки.

Пример расчета неразрезной балки.

q₁ = 2 (т / м) q₂ = 3 (т / м) Р = 5 (т)

ℓ₁= 6 ( м) ℓ₂ = 8 ( м) ℓ₃ = 4 ( м)

I₁= 2I I₂= I I₃= 2I

1. Определяем степень статической неопределимости балки:

n_ст = С_оп – 3 = 5 – 3 = 2

Таким образом, балка дважды статически неопределима. Необходимо отбросить две лишние связи и составить два уравнения (уравнения 3-х моментов).

2. Выбираем основную систему и строим эквивалентную . На основной системе отбрасываем внешнюю нагрузку, врезаем шарниры в опорные сечения, отбрасываем консольный участок и заменяем жесткую заделку дополнительным пролетом ℓ₀ бесконечно малой длины и бесконечно большой жесткости. На эквивалентной системе показываем внешнюю нагрузку, реакции отброшенных связей ( опорные моменты М₀ и М₁) и действие консольного участка в виде известного момента М₂ и поперечной силы Q_2.

3. Составляем уравнения трех моментов.

Исходя из выбранной основной системы видно, что неизвестными усилиями являются моменты М₀ и М₁. Момент М_А равен нулю, так как это момент в крайней шарнирной опоре (момент в шарнире). Момент М₂ определяется как момент от консольного участка на балку (аналогично определяется и Q₂ ) , т.е.

М₂ = - q₂ · ℓ₃ · ℓ₃ /2 = - 3 · 2 · 1 = - 6 (тм)

Q₂ = - q₂ · ℓ₃ = - 3 · 2 = - 6 (тм)

Так как неизвестными моментами М₀ , М₁ являются моменты на 0-ой и 1-ой опорах соответственно, то уравнения трех моментов составляются для n=0 и n=1 .

n=0 М_А· ℓ₀^' + 2 М₀ ·(ℓ₀^' + ℓ₁^' ) + М₁· ℓ₁^' = - 6 В₀^ф · I_с / I₀ - 6 А₁^ф · I_с / I₁

n=1 М₀· ℓ₁^' + 2 М₁ ·(ℓ₁^' + ℓ₂^' ) + М₂· ℓ₂^' = - 6 В₁^ф · I_с / I₁ - 6 А₂^ф · I_с / I₂

Предварительно найдем все необходимые величины для этих уравнений:

ℓ₀^' = ℓ₀ ·I_с / I₀ = 0,

ℓ₁^' = ℓ₁ ·I_с / I₁ = 6 · I / 2I = 3 (м) ,

ℓ₂^' = ℓ₂ ·I_с / I₂ = 8 · I / I = 8 (м) ,

принято I_с = I₂ = I ( можно выбрать любой другой момент инерции на балке).

А₀^ф = В₀^ф = 0,

А₁^ф = В₁^ф = q₁ · ℓ₁³ / 24 = 2 · 6³ / 24 = 18 (тм²)

А₂^ф = В₂^ф = Р · ℓ₂² / 16 = 5 · 8² / 16 = 20 (тм²)

Итак, получаем следующие уравнения:

0 · 0 + 2 М₀ ·( 0 + 3 ) + М₁· 3 = - 6 · 0 · I / ∞ - 6 ·18 · I / 2I

М₀· 3 + 2 М₁ ·( 3 + 8 ) – 6 · 8 = - 6 ·18 · I / 2I - 6 ·20 · I / I

Преобразуя уравнения, получим:

6 М₀ + 3 М₁ = - 54

3 М₀ + 22 М₁ = - 126

4. Решая данную систему уравнений, получаем:

М₀ = - 6,586 (тм) М₁ = - 4,829 (тм)

5. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов.

На основании полученных моментов строим эпюру М_оп :

1. откладываем под 0-ой опорой отрезок равный 6,586 ( вверх, т.к. на эпюре изгибающих моментов минус откладывается вверх);

2. откладываем под 1-ой опорой отрезок равный 4,829 (вверх);

3. откладываем под 2-ой опорой отрезок равный 6 (вверх);

4. соединяем полученные отрезки прямыми линиями.

Для построения эпюры М_Р⁰ , разбиваем балку на отдельные однопролетные балки и для каждой в отдельности строим эпюру изгибающих моментов.

Для получения окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок суммируем полученные эпюры по соответствующим участкам.

для 0-ой опоры:

М_ок⁽⁰⁾ = М_оп⁽⁰⁾ + М_Р^{0 (0)} = - 6,586 + 0 = - 6,586 (тм)

среднее значение на 1 участке:

М_ок^(0ср) = М_оп^(0ср) + М_Р^{0 (0ср)} = - 5,707 + 9 = 3,293 (тм)

для 1-ой опоры:

М_ок⁽¹⁾ = М_оп⁽¹⁾ + М_Р^{0 (1)} = - 4,829 + 0 = - 4,829 (тм)

среднее значение на 2 участке:

М_ок^(1ср) = М_оп^(1ср) + М_Р^{0 (1ср)} = - 5,414 + 10 = 4,586 (тм)

для 2-ой опоры:

М_ок⁽²⁾ = М_оп⁽²⁾ + М_Р^{0 (2)} = - 6 + 0 = - 6 (тм)

6. Строим окончательную эпюру поперечных сил.

Для построения эпюры поперечных сил так же разобьем всю балку на отдельные однопролетные балки (балки на двух шарнирных опорах или балки с одним жестким защемлением) и для каждой балки в отдельности построим эпюру поперечных сил.