Безразмерные характеристики

А) Максимальная и критическая скорость.

Установим некоторые соотношения для модели совершенного газа.

Запишем ,

. (5.16)

Это равенство определяет температуру торможения –  . Из полученного равенства следует, что при с увеличением местная температура убывает, и наоборот.

Однако уменьшение температуры не может происходить беспредельно, т.к. , и, следовательно,

.

Это позволяет ввести в рассмотрение максимальную скорость движения газа. При заданном значении энтальпии (температуры) торможения максимальная скорость определяется равенством:

. (5.17)

Сравнение скорости газа с максимальной позволяет судить о степени преобразования внутренней энергии газа и работы, которую могут совершить силы давления при расширении газа, в кинетическую энергию его движения, т.к. при и внутренняя энергия и давление равны нулю.

В общем случае (температура) торможения может меняться вдоль линии тока, то будет меняться и .

Только для адиабатных течений, для которых энтальпия торможения постоянна на линии тока, .

Преобразуем дальше уравнение (5.16), разделив его на :

, . (5.18)

Теперь воспользуемся связью между энтальпией и скоростью звука и запишем уравнение в виде:

. (5.19)

Будим рассматривать адиабатное движение газа. Тогда из равенства (5.19) следует, что при увеличении скорости газа уменьшается скорость звука в нем и наоборот: уменьшение скорости приводит к увеличению скорости звука, и в потоке можно найти точку, в которой скорость газа сравняется со скоростью звука в нем.

Скорость потока, равная местной скорости звука в этом потоке, носит название критической скорости.

А ей соответствующие значения термодинамических параметров называются критическими.

Критическую скорость будем обозначать , а термодинамические параметры и т.д.

В уравнении (5.19) положим . Тогда

. (5.20)

Отсюда получим

. (5.21)

Отсюда видно, что для данного газа критическая скорость зависит только от температуры торможения .

При движении газа с подводом тепла энтальпия (температура) меняется вдоль линии тока, а значит, и будет меняться.

При адиабатном движении газа .

Б) Безразмерные характеристики скорости.

Характеризовать скорость потока ее численным размерным значением не всегда удобно.

Свойства потока зависят не от абсолютного значения скорости, а от соотношения между скоростью потока и скоростью звука.

Вводят обычно следующие безразмерные величины, характеризующие скорость потока.

Число Маха.

Число Маха ( ) называют отношение скорости потока ( ) к местной скорости звука ( ), т.е.

. (5.22)

Поток дозвуковой ( ),

звуковой ( ),

сверхзвуковой ( ).

При рассмотрении потока изменение числа Маха не пропорционально изменению скорости потока, поэтому вводят в рассмотрение еще одну безразмерную величину, характеризующую скорость.

Коэффициент скорости.

Коэффициентом скорости называют отношение скорости потока к критической скорости

. (5.23)

Для всех адиабатных течений критическая скорость – величина постоянная, поэтому изменение коэффициента скорости пропорционально изменению самой скорости потока.

Поскольку критическая скорость определяется из условиях , то значению соответствует . Следовательно, в дозвуковом потоке , а в сверхзвуковом

У

становим пределы изменения .

При → , при

. (5.24)

Тогда

Между безразмерными характеристиками скорости: и М может быть установлена связь.

Найдём связь между и .

Тогда

. (5.25)

Т еперь установим зависимость между и .

, т.к. , то

.

Разделим это равенство на :

,

откуда

или . (5.26)

График зависимости для представлен на рис. 5.3. При число Маха , т.к. . Следовательно