Вопрос 5. Газодинамические параметры и функции.

А) Условия изоэнтропного течения.

Примем следующую модель среды:

- среда невесомая,

- со стороны стенок на среду действуют силы давления и трения,

- возможен теплообмен через стенки канала,

- возможен массообмен через стенки канала,

- вдоль канала параметры меняются непрерывно.

По поперечному сечению параметры постоянны.

Воспользуемся системой уравнений движения среды в интегральной форме. Эти три уравнения имеют одну и туже структуру и с учётом принятой модели могут быть записаны в виде:

, (5.1)

где

; ; (5.2)

Буем рассматривать массу среды, заключённую в начальный момент времени в канале между сечениями и .

Запишем левую часть уравнения для одномерного движения:

. (5.3)

Так как параметры постоянны по поперечному сечению, то

. (5.4)

Обратимся теперь к правой части уравнения. Обозначим и .

Теперь рассмотрим силы, действующие на выделенную массу (см. рис. 5.1). Поскольку среда невесомая, то массовые силы равны нулю. Обозначим проекцию на ось Ox силы трения через , действующей со стороны газа на стенки канала.

Проекция на ось Ox силы давления, действующей в левом сечении равна , а в правом .

Знак “–” потому, что проекция силы действующей на правую грань, направлена в сторону противоположную направлению оси Ox.

Проекция силы давления, действующей со стороны стенок канала равна:

, но , поэтому .

Сумма проекций на ось Ox всех поверхностных сил:

. (5.5)

Рассмотрим сумму работ.

Сила трения, возникающая у стенок, приводит к тому, что скорость среды непосредственно у стенок равна 0, а по сечению остаётся постоянной. По этой причине перемещение у стенок отсутствует и работа сил, действующих на выделенную массу со стороны стенок, равна 0, т.е. работу совершают только силы, действующие в поперечных сечениях. Значит

.

Учитывая всё это, запишем систему уравнений для одномерного движения:

(5.6)

, (5.7)

. (5.8)

Преобразуем второе и третье уравнения

,

.

Разделим почленно второе уравнение на , а третье – на G

,

, (5.9)

. (5.10)

Будем предполагать, что подводимая из вне масса газа поступает в каждое сечение со скоростью основного течения ( ), а величина . Это позволяет систему уравнений записать в более простом виде:

(5.11)

Выясним теперь, при каких условиях течение газа проходит с постоянной энтропией, и какие факторы приводят к её изменению. Учтём, что и перепишем два последних уравнения системы (5.11)

, (5.12)

. (5.13)

Вычтем теперь из (5.13) выражение (5.12) и воспользуемся основным уравнением термодинамики , получим:

или

. (5.14)

Это уравнение показывает, что течение газа с подводом массы, имеющей одинаковую с основным потоком составляющую скорости и энтальпию , энтропия в общем случае не остаётся постоянной.

Трение всегда приводит к увеличению энтропии, а теплообмен может как увеличивать ( ), так и уменьшать ( ). При течении невязкого ( ) и нетеплопроводного ( ) газа энтропия в непрерывном течении остаётся постоянной, т.е. течение является изоэнтропным.

Б) Параметры торможения.

Полученные уравнения показывают, что термодинамические параметры и скорость потока взаимосвязаны между собой.

Термодинамические параметры среды при наличии скорости её движения принято называть статическими или местными параметрами.

Наряду с ними представляет интерес рассмотрение термодинамических параметров, которые будет иметь среда, если поток из состояния, которое он имеет в данной точке, полностью затормозить. Но затормозить поток можно различными способами.

Для сопоставления параметров и проведения расчётов выбирается стандартный способ торможения. В качестве такого способа выбирается торможение при изоэнтропном течении.

Т ермодинамические параметры полностью заторможенного потока при условии, что торможение происходило в изоэнтропном течении, называются параметрами торможения (обозначение см. рис. 5.2).

Выясним, как те или иные факторы влияют на изменение параметров торможения.

Будем рассматривать течение газа с подводом массы при условии , .

Сначала проследим за изменением параметров торможения для адиабатных (не обязательно изоэнтропных) течений газа.

Пусть адиабатный процесс ещё и равновесный. Тогда согласно второму началу термодинамики

и двух точек на линии тока , то тогда и параметры торможения .

Из третьего уравнения системы (5.11) следует, что , тогда

,

следовательно,

,

т.е. энтальпии торможения тоже равны.

Поскольку равны два термодинамических параметра, то равны и остальные:

, и т.д.

Таким образом, при равновесном адиабатном течении газа параметры торможения не изменяются.

Адиабатное течение не равновесно.

Согласно второму началу термодинамики, можно записать

или , т.к. по определению параметров торможения и . Но из третьего уравнения системы (5.11) по-прежнему следует . Поэтому можно считать, что газ из состояния 1( ) переходит в состояние 2( ).

Вычислим изменение энтропии по основному уравнению термодинамики

. (5.15)

Отсюда следует, что

.

Поскольку у нас , то

.

Так как , , , то получаем ,

т.е. при неравновесном адиабатном течении газа давление торможения уменьшается.

При этом также , т.е. плотность торможения тоже уменьшится.

К этому случаю сводится адиабатное течение вязкого газа.

Рассмотрим теперь движение невязкого газа с теплообменом. Предположим, что , т.е. тепло подводится к газу. Тогда из уравнения (5.14) следует, что растет энтропия. Из третьего уравнения (5.11) – – энтальпия торможения возрастает.

Используем теперь (5.14) и учтем третье равенство (5.11). Тогда

,

но и можно записать

.

Уравнение (3.15) принимает вид

.

Температура торможения всегда выше статической температуры, так как при постоянной энтропии большему значению энтальпии всегда отвечает большее значение температуры.

Тогда .

Отсюда следует, что , т.е. при течении газа с подводом тепла давление торможения уменьшается.

Для плотности этот вывод сохраняется (она уменьшается).

Отвод тепла приводит к противоположному эффекту: энтальпия и энтропия торможения уменьшается; и – увеличиваются.

Для количественной оценки изменения давления торможения вводят величину коэффициента потерь давления торможения (полного давления)

.