Вопрос 4. Уравнения гидромеханики в интегральной и дифференциальной форме. Уравнения гидромеханики в интегральной форме

Уравнения гидромеханики – это запись основных законов физики и механики через параметры потока.

Для нахождения пяти неизвестных необходимо составить пять уравнений.

Запишем исходные законы.

В ыделим некоторый объем Ω.

1-й закон – закон сохранения массы.

Масса газа, содержащаяся в объеме Ω, в процессе движения остается постоянной.

.

Этот закон дает нам первое уравнение.

2-й закон – закон изменения количества движения.

Изменение количества движения газа в объеме Ω за единицу времени равно сумме сил, действующих на газ.

Записанный для проекций этот закон дает нам еще три уравнения.

3-й закон – закон сохранения энергии.

Изменение полной энергии (кинетическая + внутренняя) массы газа в объеме Ω, равно работе сил, действующих на эту массу плюс подведенное к этой массе тепло.

.

Запишем основные законы через параметры потока.

Будем предполагать: и ;

и ;

.

Выделим в объеме Ω элементарный объем dΩ. Для него можно записать:

тогда для всего объема:

Рассмотрим правые части уравнений.

Выделим на поверхности Σ объёма Ω, элементарный участок поверхности dσ. Тогда сила давления, действующая на dσ равна , а на всю поверхность ;

работа силы давления , и для всей поверхности .

Теперь законы через параметры будут выражаться следующим образом:

Преобразуем эти уравнения так, чтобы избавиться от производной.

Рассмотрим левые части этих выражений. Они имеют общий вид:

Обозначим

,

.

Так как , то второй интеграл можно представить в виде

, а это есть поток функции f через поверхность Σ .

Т еперь мы можем представить уравнения в следующем виде:

(4.1)

Данная система уравнений и есть система уравнений гидромеханики в интегральной форме.

Для установившегося движения система уравнений упрощается, т.к. частные производные :

(2.2) (4.2)

Третье уравнение системы можно преобразовать с учетом того, что

(4.3)

Приложим полученные результаты к одномерному движению:

Σ = Σ₁+Σ₂+Σ_бок .

Рассмотрим первое уравнение системы (4.1):

Поскольку скалярное произведение , то

Так как есть площадь поперечного сечения, то

. (4.4)

Это уравнение называется уравнением расхода газа.

Расход газа (G) – это масса газа, протекающая через поперечное сечение за единицу времени.

Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме

Рассмотрим первое уравнение системы (4.2)

Скалярное произведение векторов и равно

,

тогда

.

В соответствие с теоремой Остроградского-Гаусса¹ можно записать:

.

Это равенство справедливо для произвольного объема. Поскольку Ω – произвольный объем, то подынтегральная функция равна 0:

или (4.5а)

. (4.5б)

Уравнение (4.5б) (или (4.5а)) называется уравнением неразрывности.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы (4.2).

Обозначим левую его часть через I₁, правую – I₂ :

,

.

Подставляя в уравнение и перенося правую часть влево, получим

.

Так как Ω – произвольный объем, то с учетом теоремы Остроградского-Гаусса

.

Преобразуем полученное выражение, продифференцировав выражения в скобках, получим

.

В соответствие с уравнением неразрывности первое слагаемое равно нулю. Выражение в скобках второго слагаемого представим как скалярное произведение векторов, третье слагаемое перенесем в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на ρ, в результате получим

. (4.6)

где .

Полученное в векторной форме выражение (4.6) в гидродинамике называют уравнением движения Эйлера.

Рассмотрим третье уравнение системы в виде (4.3).

Проведем аналогичные преобразования. В соответствие с теоремой Остроградского-Гаусса

.

Так как Ω – произвольный объем, то

,

. ПРОВЕРЬ

Тогда уравнение энергии для частицы среды можно записать в следующем виде:

. (4.7)

Из (4.7) следует, что для частицы:

.

Для установившегося движения линии тока и траектории частиц одно и тоже, т.е. вдоль траектории частиц.

При установившемся движении частица движется вдоль линии тока. Поэтому, все соотношения, справедливые вдоль траектории, будут выполняться и вдоль линии тока.