Вопрос 2. Термодинамические параметры.

При изучении свойств среды методами термодинамики вводятся различные макроскопические характеристики системы (давление, температура и т.д.) и выявляются связи между ними при условии, что изучаемая термодинамическая система находится в состоянии равновесия, т.е. когда система изолирована и все ее макроскопические параметры не меняются с течением времени.

В общем случае все излучаемое количество жидкости или газа являются неравновесной системой.

Будем предполагать, что в неравновесной в целом системе достаточно малые ее пространственные части (например, частицы) находятся в термодинамическом равновесии.

Эта гипотеза о локальном термодинамическом равновесии позволяет изучить макроскопические свойства неравновесной большой системы, представив ее предварительно в виде бесконечно малых по объему частиц, находящихся в состоянии термодинамического равновесия.

Таким образом, частицу среды будем рассматривать как термодинамическую систему, находящуюся в любой момент времени в равновесии и характеризовать ее свойства термодинамическими параметрами (или параметрами состояния).

р – давление, ;

T – абсолютная температура, К;

ρ – плотность, ;

e – удельная внутренняя энергия, ;

i – удельная энтальпия, ;

s – удельная энтропия, .

Энтальпия системы вводится формально соотношением

. (2.1)

Связь между параметрами состояния определятся основным уравнениям термодинамики:

(2.2)

Из термодинамики известно, что для определения состояния среды достаточно в общем случае задать лишь два независимых параметра. Все остальные параметры будут функциями состояния, и определяться по соответствующим термодинамическим соотношениям.

Например, T и p, p и ρ, T и s и т.д.

Кроме перечисленных выше параметров будут использоваться следующие:

- изобарная теплоемкость , ;

- изохорная теплоемкость , ;

- отношение теплоемкостей (или показатель адиабаты), – величина безразмерная, поскольку .

Вопрос 3. Методы описания движения сплошной среды.

Движение сплошной среды значительно сложнее движения твердого тела, так как отдельные частицы способны перемещаться относительно друг друга внутри движущегося объема жидкости или газа. Поэтому недостаточно изучить движение некоторого объема среды как единого целого, необходимо знать движение каждой частицы.

Введем в пространстве, через которое движется среда, прямоугольную систему координат Оxyz.

Пусть – вектор скорости произвольной частицы; проекции на оси системы координат будем обозначать через , причем

; ; . (3.1)

Изучить движение среды – значит, найти значения скорости и параметров состояния любой частицы в любой момент времени. Будем в дальнейшем скорость (или ее составляющие) и термодинамические параметры называть параметрами потока.

В механике сплошной среды используют обычно два метода изучения движения жидкости и газа: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа.

Заключается в том, что изучается движение каждой отдельной частицы среды. Для выделения конкретной частицы из множества находятся ее координаты в начальный момент времени.

Если в момент времени t₀ частица имеет координаты , то тогда закон ее движения имеет вид:

а изменение параметров потока в процессе движения частицы описывается функциями

(3.2)

Совокупность величин x₁, y₁, z₁, t носит наименование переменных Лагранжа.

Следует отметить, что x₁, y₁, z₁ – постоянные величины, а t – переменная.

При этом методе задания движения среды, проекции скоростей и ускорений точек среды выражается обычными равенствами.

, , . (3.3)

, , . (3.4)

Метод Эйлера.

Этот метод изучает поля параметров потока в точках пространства, занятого движущейся средой.

Полем физической величины называется совокупность значений этой величины во всех точках изучаемого пространства в данный момент времени.

ƒ= ƒ(x, y, z, t), x, y, z, t – переменные Эйлера.

Под параметрами потока в данной точке пространства понимаются параметры той частицы среды, которая в рассматриваемый момент времени находится в этой точке.

Поля могут быть нестационарными и стационарными.

Если параметры в любой точке пространства изменяются с течением времени, то поля называются нестационарными, а движение среды – неустановившимся.

Если же в любой точке рассматриваемого пространства параметры остаются постоянными, не зависящими от времени, то такие поля называются стационарными, а движение среды – установившимся.

В этом случае поля параметров потока оказываются функциями:

(3.5)

Поля могут быть: трехмерными,

двухмерными,

одномерными.

Хотя время t в переменных Эйлера и Лагранжа одно и тоже, но производные по t в этих переменных в общем случае отличны между собой.

Покажем это.

Рассмотрим поле температуры, например.

Распределение температур логично задать как с точки зрения Лагранжа

,

так и с точки зрения Эйлера

.

Если распределение Т задано с точки зрения Лагранжа, то подсчитать изменение температуры в единицу времени t в частице сплошной среды очень просто

.

Как вычислить туже величину, если распределение температуры задано в переменных Эйлера?

Очевидно, что для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа.

.

Затем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда:

.

или с учетом выражений (3.4)

. (3.6)

Производная характеризует изменение температуры со временем в данной частице сплошной среды и называется индивидуальной или субстанциональной (в математике – полной) производной температуры Т по времени t.

Она часто обозначается символом .

Производная характеризует изменение температуры Т в единицу времени в данной точке пространства x.

Она называется местной или локальной производной и обозначается .

В общем случае индивидуальная производная отличается от местной на величину, зависящую от движения частицы и называемую конвективной производной.

Конвективная производная характеризует неоднородность поля рассматриваемой величины в данный момент времени.

Итак

. (3.7)

При исследовании движения среды важным является понятие линии тока.

Линией тока называется такая кривая, в каждой точке которой касательная к ней совпадает с вектором скорости в данный момент времени (см. рис. 3.1 а).

Для установившегося движения линии тока не меняют своей формы с течением времени и представляют собой траектории движения частиц.

П оэтому все соотношения между параметрами потока, записанные для частицы среды, будут справедливы и вдоль линии тока.

Если в движущейся среде взять элементарный замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется поверхность, называемая трубкой тока (см. рис. 3.1 б).

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой.

Заметим, что массообмена между струйкой и окружающей средой не происходит, поскольку в любой точке боковой поверхности струйки вектор скорости направлен по касательной, поэтому частицы среды не проникают внутрь трубки тока и не выходят из нее.

Пример:

Записать выражения для определения проекций ускорения жидкой частицы в переменных Эйлера. Поле параметров а) трехмерное, б) двухмерное, в) одномерное, движение – неустановившееся.

Решение:

а ) Для определения проекций ускорения жидкой частицы в переменных Эйлера следует учесть, что , являются функциями , где в свою очередь при движении частиц жидкости зависят от t. Используя правило дифференцирования сложной функции будем иметь

,

,

.

б) Движение жидкости называется двумерным, если параметры потока являются функциями двух координат. Примерами такого движения являются плоскопараллельное (или плоское) и осесимметричное движение. Плоским движение называется, если все частицы, находящиеся на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной фиксированной плоскости, движутся одинаково параллельно этой плоскости. При плоском неустановившемся потоке жидкости будем иметь

,

,

Если пространственное движение жидкости симметрично относительно некоторой оси, например, Ох, то такое движение называется осесимметричным.

О сесимметричными течениями являются движения жидкости в соплах и диффузорах круглого сечения, осевое обтекание тел вращения и т.п.

в) Если жидкость движется так, что проекции скорости являются только функциями только одной координаты и времени, то такое движение называется одномерным неустановившимся. В частности при движении вдоль оси х будем иметь

.