Маятник, кінематика його коливань

 

  Маятником є ​​всяке тіло, підвішений так, що його центр ваги

знаходиться нижче точки підвісу. Молоток, що висить на цвяху, ваги, вантаж на мотузці - все це коливальні системи, подібні маятнику настінного годинника. У всякої системи, здатної здійснювати вільні коливання, є стійке положення рівноваги. У маятника це положення, при якому центр тяжіння знаходиться на вертикалі під точкою підвісу. Якщо ми виведемо маятник з цього положення або штовхни його, то він почне коливатися, відхиляючись то в один бік, то в інший бік від положення рівноваги. Найбільше відхилення від положення рівноваги, до якого доходить маятник, називається амплітудою коливань. Амплітуда визначається тим початковим відхиленням або поштовхом, яким маятник був приведений в рух. Це властивість - залежність амплітуди від умов на початку руху - характерно не тільки для вільних коливань маятника, а й взагалі для вільних коливань дуже багатьох коливальних систем.

Гармонійне коливання. Частота

  

Коливання, яке здійснює при рівномірному русі точки по колу проекція цієї точки на яку-небудь пряму, називається гармонійним (або простим) коливанням. Гармонійне коливання є спеціальним, приватним видом періодичного коливання. Цей спеціальний вид коливання дуже важливий, оскільки він надзвичайно часто зустрічається у всіляких коливальних системах. Коливання вантажу на пружині, камертона, маятника, затиснутою металевої пластинки якраз і є за своєю формою гармонійним. Слід зауважити, що при великих амплітудах коливання зазначених систем має декілька більш складну форму, але вони тим ближче до гармонійного, чим менше амплітуда коливань. Число циклів гармонійного коливання, що здійснюються за 1с, називається частотою цього коливання. Одиницю частоти називають Герцем. (Гц)

Динаміка гармонійних коливань

   Розглянемо динаміку вільних коливань в ідеальних коливальних системах без тертя. Відведемо кулю пружинного маятника від положення рівноваги. У цьому випадку на кулю діє повертальна сила, спрямована у бік положення рівноваги.

Її проекція має знак, протилежний знаку зсуву x

Аналогічно йде справа в разі математичного маятника. Відведемо маятник від положення рівноваги. У цьому випадку рівнодіюча сили тяжіння і сили пружності нитки спрямована в бік положення рівноваги.

   Цю силу можна виразити так:

Але якщо розглядати коливання з маленькими кутами відхилення, то

так як . Величина постійна. Позначимо її через k. Тоді

Направлена сила в сторону протилежну зсуву.

Перетворення енергії при вільних коливаннях

Відведемо маятник на невеликий кут a від положення рівноваги. цим ми

повідомимо маятнику потенційну енергію:

Де H_max – максимальна висота підйому маятника.

Відпустимо маятник. Під дією сили тяжіння і сили реакції маятника буде рухатися до положення рівноваги. При цьому його потенційна енергія перетворюється в кінетичну. У положенні рівноваги вся повідомлена маятнику потенційна енергія перетвориться в кінетичну:

Де - максимальне значення швидкості руху тіла, підвішеного до нитки.

При відсутності сил тертя за законом збереження енергії максимальне значення потенційної енергії дорівнює максимальному значенню кінетичної енергії:

Отже, при коливаннях маятника відбувається періодичне перетворенні

потенційної енергії в кінетичну і назад:

У довільний момент повна механічна енергія вагається тіла за законом перетворення і збереження енергії дорівнює сумі його потенційної і кінетичної енергії.

Період

   Період коливань маятника, близького за своїми властивостями до математичного маятника, не залежить від маси маятника.

Змусимо маятник описувати конічну поверхню. У цьому випадку кулька

маятника рухається по колу. Визначивши період обертання маятника,

виявимо, що він дорівнює періоду коливань цього маятника:

Період обертання конічного маятника ж дорівнює довжині описуваної окружності, поділеній на лінійну швидкість:

На кульку діє доцентрова сила, так як він рухається по колу.

  Період математичного маятника залежить тільки від довжини маятник l і від

прискорення вільного падіння g.