3.2.Умова рівноваги просторової та плоскої систем збіжних сил у геометричній формі

Необхідною й достатньою умовою рівноваги просторової (а, отже, і плоскої) системи збіжних сил є рівність нулю рівнодіючої цієї системи сил, тобто:

(3.2)

Геометрично умова (3.2) вимагає, щоб силовий многокутник, побудований для цієї системи сил, замикався сам на себе.

3.3. Проекції сили на вісь і на площину

Проекція сили на вісь - величина скалярна, яка дорівнює добутку модуля сили та косинуса кута між напрямком сили та додатним напрямком осі проекції (рис. 3.2 а, б):

(3.3)

У

Рис. 3.2 а, б

випадку, показаному на рис. 3.2 а, і

У випадку, показаному на рис. 3.2 б, і

П роекцією сили на площину Оxy (рис. 3.3) називається вектор , що знаходиться між проекціями початку та кінця вектора сили на цю площину. Проекція сили на площину - величина векторна. Модуль проекції сили на площину визначається за формулою:

(3.4)

д

Рис. 3.3

е - кут між напрямком вектора сили та її проекцією на площину .

Для знаходження проекції сили , наприклад, на вісь х, необхідно спочатку знайти її проекцію на площину Оху, у якій ця вісь лежить, а потім знайдену проекцію на площину спроектувати на дану вісь:

(3.5)

3.4. Аналітичний метод визначення рівнодіючої просторової та плоскої систем збіжних сил

Для проекції рівнодіючої на вісь справедлива теорема: проекція рівнодіючої просторової або плоскої системи збіжних сил на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових сил на ту ж вісь:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Модуль рівнодіючої системи збіжних сил дорівнює:

. (3.9)

Положення вектора у просторі визначається напрямними косинусами:

(3.10)

Після того, як знайдено величину та напрямок рівнодіючої просторової системи збіжних сил, можна знайти й лінію дії рівнодіючої. Для цього визначають рівняння прямої лінії, що проходить через точку А перетину ліній дії даних збіжних сил , ,.... , і має напрямок рівнодіючої цих сил. Згідно з правилами аналітичної геометрії це рівняння має такий вигляд:

, (3.11)

де x, y, z - поточні координати прямої; x_A, y_A, z_A - координати точки А (рис. 3.4).

Рис. 3.4

У випадку плоскої системи збіжних сил можна за площину, у якій розташована ця система сил, прийняти площину Оxy, тоді проекція будь-якої сили на вісь Oz буде дорівнювати нулю. У результаті будемо мати:

(3.12)

Модуль рівнодіючої плоскої системи збіжних сил дорівнює:

(3.13)

Напрямні косинуси визначаються за формулами:

(3.14)

3.5. Умови рівноваги просторової та плоскої систем збіжних сил в аналітичній формі. Вказівки до розв'язування задач

Для рівноваги просторової та плоскої систем збіжних сил необхідно й достатньо, щоб рівнодіюча цих сил дорівнювала нулю, тобто

= 0. (3.15)

При цьому з рівняння (3.9) витікає:

(3.16)

Таким чином, для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно й достатньо, щоб дорівнювали нулю алгебраїчні суми проекцій усіх сил на кожну з трьох вибраних довільним способом координатних осей.

Для плоскої системи збіжних сил з рівнянь (3.16) маємо:

(3.17)

Якщо на вільне тіло діє система збіжних сил, еквівалентна нулю, то з цього не витікає, що дане тіло буде знаходитися в спокої відносно вибраної системи відліку, бо при виконанні умов (3.16) і (3.17) це тіло може рухатись за інерцією.

Необхідними та достатніми умовами стану спокою вільного тіла, на яке діє система збіжних сил, є:

1) рівнодіюча системи сил повинна дорівнювати нулю;

2) початкові швидкості всіх точок тіла, що розглядається, також повинні дорівнювати нулю.

При розв'язанні задач у випадку, коли лінії дії всіх сил, прикладених до тіла, включаючи й реакції в'язей, перетинаються в одній точці, можна скористатись умовами рівноваги системи збіжних сил у геометричній або аналітичній формах. У першому випадку для системи збіжних сил невідомі величини знаходять за допомогою побудови замкненого силового многокутника: або чисто графічно, будуючи цей силовий многокутник у певному масштабі, або визначаючи його сторони за правилами геометрії чи тригонометрії. Це геометричний метод. Але геометричний метод розв'язання задач статики при числі сил більше трьох стає незручним. У такому разі майже завжди вигідніше застосовувати аналітичний метод. При аналітичному методі знаходимо невідомі величини з рівнянь рівноваги (3.16) і (3.17), у ліві частини яких входять проекції відомих активних сил і невідомих реакцій в'язей.

Відмітимо, що ті з рівнянь (3.16) і (3.17), у які входять проекції сил реакцій в'язей, називаються рівняннями рівноваги; ті ж з них, у які проекції сил реакцій в'язей не входять, називаються умовами рівноваги. Якщо тіло є невільним, то число умов рівноваги дорівнює числу ступенів вільності тіла, тобто числу незалежних переміщень, які може мати це тіло.

При розв'язанні задач про рівновагу невільного твердого тіла кількість сил реакцій і накладених на це тіло в'язей є величинами наперед невідомими. Задача статики може бути розв'язана тільки в тому випадку, коли число невідомих сил реакцій не перевищує числа рівнянь рівноваги, які містять ці сили реакцій. Якщо число рівнянь рівноваги дорівнює числу невідомих сил реакцій, то така задача про рівновагу тіла називається статично визначеною. Якщо число рівнянь рівноваги тіла менше, ніж число невідомих сил реакцій, то задача про рівновагу тіла називається статично невизначеною. Статично невизначені задачі розв'язуються в курсах опору матеріалів або статики споруд.

У теоретичній механіці розглядаються тільки статично визначені задачі. При розв'язанні задач статики рекомендується дотримуватись такої методики:

1) вибрати тіло (точку), рівновагу якого (якої) треба розглянути в задачі;

2) звільнити вибране тіло від в'язей і показати всі діючі на тіло активні сили та сили реакцій в'язей;

3) скласти рівняння рівноваги. Для цього необхідно вибрати осі координат. Вибір осей координат можна проводити довільно, але рівняння рівноваги розв'язувати легше, якщо одну з осей направити перпендикулярно до лінії дії однієї з невідомих сил реакцій. Розв'язання одержаних рівнянь рівноваги потрібно проводити, як правило, до кінця в загальному вигляді. Тоді для шуканих величин одержимо формули, які дозволяють проаналізувати знайдені результати.

Вказівка. Для закріплення теоретичного матеріалу §§ 1-3 необхідно розв’язати наступні задачі із збірника: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981 (або 1986):

1) №№ 2.6; 2.8; 2.11; 2.18; 6.3; 6.6;

2) №№ 2.16; 2.23; 2.28; 6.7; 6.8; 6.10;

3) №№ 2.33; 2.41; 2.46; 2.47; 6.12; 6.16; 6.17.