10.Прямое и обратное преобразования Лапласа. Передаточная функция.

Для решения дифференциальных уравнений высоких порядков используют операторный метод Лапласа. При этом дифференциальное уравнение записывается с введение оператора Лапласа p.

В результате прямого преобразования Лапласа дифференциальное уравнение n-го порядка превращается в алгебраическое уравнение n-ой степени от p. Решая это уравнение, находят изображение решения X(p), после чего с помощью специальных таблиц переходят к искомому решению X(t).

Эта операция называется обратным преобразованием Лапласа. Математическая с-ть преобразования Лапласа определяется формулой: – это комплексная функция оператора Лапласа, которая называется изображением X(t) – это исходная ф-ия от времени, которая называется оригиналом.

Передаточная функция:

Если в уравнении в которой записана в операторной форме нужно найти отношение выходного сигнала к входному, то получим передаточную функцию:

Передаточная функция W(p) (элемент звена или системы) – это отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной:

11.Статистическая характеристика и коэффициент усиления. Линеаризация нелинейностей.

Дифференциальные уравнения описывают динамические процессы в отдельном звене или в системе уравнения в целом. Если система работает в уст-ся режиме, то все производные по времени от входных и выходных величин равны нулю. В этом случае дифференциальное уравнение динамики преобразуется в алгебраическое уравнение статики:

Статическая характеристика элемента или системы – это зависимость выходного параметра от входного в установившемся режиме. Статическая может быть представлена в виде графика, таблицы или полного. Статическая характеристика может быть линейной или нелинейной.

Коэффициент усиления:

Нелинейную характеристику можно линеаризовать, проведя касательную. Линейная характеристика также оценивается углом альфа и коэффициентом k соответственно в данной точке.

Передаточная функция W(p) в установившемся режиме равна к-ту усиления.

12.Типовые входные воздействия и реакция на них. Переходная характеристика, функция веса, частотные характеристики (общие сведения).

1.Единичное ступенчатое воздействие. Ступенчатая функция представляет собой распр-ый вид входного воздействия.

Реакция звена на единичное ступенчатое воздействие называется передаточной функцией h(t), а график этой функции называется переходной характеристикой.

2.Единичное импульсное воздействие.

Единичная импульсная функция:

Реакция звена на дельта функцию называется функцией веса:

3.Гармоническое воздействие – синусоидальное гармоническое колебание:

Формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие – частотные характеристики.