M Рис. 4.2. Обратная засечка

Допустим, что методом нелинейного программирования получен минимум целевой функции в точке М. По изолинии, выделен­ной на рис. 4.2 между исходными пунктами 1 и 4, будет найден эллипс, по размерам которого убедимся в плохом качестве засеч­ки, и деления на ноль не произойдет. Следовательно, методы не­линейного программирования не требуют применения регуляризации для вырожденных случаев.

4.2. Вычисление параметров эллипсоида ошибок

Если координаты пункта, определенного пространственной геодезической засечкой, найдены путем минимизации целевой функ­ции (3.3), то эллипсоид погрешностей может быть получен в соот­ветствии с теоремой Х.Вольфа [138] по изоповерхности критери­альной функции

. (4.6)

Зная, что для многократной пространственной засечки в со­ответствии с (3.6) для точки минимума

, (4.7)

найдем приращение целевой функции из точки минимума до изопо­верхности, соответствующей эллипсоиду ошибок, определяя раз­ность (4.6) - (4.7)

. (4.8)

Формула (4.8) лучше равенства (4.6), поскольку позволяет выполнять не только апостериорную, но и априорную оценку точ­ности для любых пространственных засечек, включая однократные, при решении которых .

Таким образом, задавая приращение целевой функции из точки минимума, равное m², определим средний квадратический эллипсоид ошибок методами нелинейного программирования по получен­ной изоповерхности.

Прежде чем приступить к изложению методики определения элементов эллипсоида погрешностей по изоповерхности (4.6), сна­чала получим вспомогательные формулы, необходимые для вычисле­ний в системе координат X, Y, Z.

Предположим, что минимизация целевой функции (3.3) завер­шена в точке О (рис.4.3), являющейся центром эллипсоида погрешностей. Из множества изоповерхностей Ф(x, y, z) = const выберем изоповерхность (4.6), близкую к эллипсоиду погрешностей.

Z Z^o Z²

х^о

Q х²

C P y² M

A

g w

E

b

O K y^o

B

D

X

Рис. 4.3. Эллипсоид погрешностей и оси координат

Перейдем к новой системе x°, y°, z° с началом в точ­ке О и возьмем некоторую произвольную точку P(x°_p, y°_p, z°_p). Направление ОР характеризуется в пространстве косинусами углов w, b, g, которые найдем по координатам точки P по формулам

(4.9)

Плоскость Q, проходящая через точку Р перпен­дикулярно к направлению ОР, пересечет множество изоповерхностей целевой функции. Их след на плоскости Q показан на рис. 4.3 вокруг точки M ¾ минимума целевой функции в плоскости Q. Если плоскость Q будет перпендикулярна к OA, то направление OM совпадет с направлением большой полуоси эллипсоида ошибок. Используя это свойство, можно пост­роить в полученной на рис. 4.3 точке М новую плоскость, перпендикулярную не к ОР, а к ОМ, и, выполнив миними­зацию целевой функции в этой новой плоскости, найти направление, ближайшее к направлению ОА.

Минимизацию целевой функции в секущей плоскости Q удобнее всего осуществлять в системе x², y², z², изменяя лишь переменные x², y². Эта система координат должна быть такой, чтобы возможен был переход к системе x°, y°, z°, и следовательно к системе x, y, z в которой вычисляются зна­чения целевой функции.

Для вывода соответствующих формул перехода обратимся к рис. 4.4, где изображена система x°, y°, z°, показана точка

Z¢(Z²)

P

Z^o ²x

x^o

y²

H°_P

g

w

b

P¢

a

Y^O

O