Глава 4 оценка точности результатов уравнивания методами нелинейного программирования

4.1. Вычисление параметров эллипса ошибок

Если координаты пункта, определенного геодезической засечкой, получены путем минимизации целевой функции (3.3), то эллипс погрешностей может быть получен в соответствии с теоре­мой П.Верхмейстера [136] по изолинии критериальной функции

. (4.1)

Зная, что для многократной засечки в соответствии с (3.6) для точки минимума

, (4.2)

найдем приращение целевой функции из точки минимума до изоли­нии, соответствующей эллипсу ошибок, определяя разность (4.1) - (4.2),

. (4.3)

Формула (4.3) лучше равенства (4.1), поскольку позволяет выполнять не только апостериорную, но и априорную оценку точ­ности для любых засечек, включая однократные, при решении которых .

Таким образом, задавая приращение целевой функций из точки минимума, равное m², определим средний квадратический эллипс ошибок методами нелинейного программирования по получен­ной изолинии.

Для разъяснения методики вычисления элементов эллипса погрешностей обратимся к рис.4.1, где изображена изолиния (4.1) и точкой О обозначен центр эллипса, совпадающий с минимумом целевой функции. Из точки О проведем оси коор­динат х_1¢, х_2¢ параллельно осям х₁ и х₂ для того, чтобы показать не только большую а и малую в полу­оси эллипса, но и угол поворота Q.

x¢₁

N₂

N₃ P₁

P₈

P₂

A

N₁ - Q

D

a

b

P₁ P₃ x₂

O

C

P₆ B P₄

P₅

Рис. 4.1. Эллипс ошибок и вспомогательная окружность.

Сначала определим прямым поиском ориентировку большой по­луоси эллипса относительно осей координат. Здесь учтем, что большая полуось направлена в сторону наименьшего изменения целевой функции из точки минимума, а малая полуось эллипса ориен­тирована по направлению наискорейшего увеличения солевой функ­ции. Чтобы найти приближенно Q с точностью p/4, по­строим из точки О вспомогательную окружность единичного радиуса и, выбрав на ней восемь симметрично расположенных точек Р_i, найдем пару диаметрально расположенных точек, со­ответствующую наименьшему приращению критериальной функции. На рис. 4.1 это будут точки Р₄ и Р₈. Для уточнения угла Q найдем минимум целевой функции по касательной N₁ N₂ к окружности в точке Р₈, и получим координаты точки N₃, по которым вычислим дирекционный угол ОN₃ и следователь­но, угол Q.

По направлениям ОA, ОB, ОС и ОD вы­полним одномерную минимизацию целевой функции

. (4.4)

и получим координаты точек A, B, C, D следовательно, большую полуось эллипса малую полуось .

По элементам эллипса ошибок можно вычислить элементы об­ратной матрицы по формулам

. (4.5)

Ошибка положения пункта будет такой .

Рассмотрим два примера: прямая и линейная засечки с исход­ными данными, представленными в табл. 4.1.

Таблица 4.1.