1.5. Циліндрична та сферична системи координат
У просторі крім прямокутної системи координат часто вживаються циліндрична та сферична системи координат.
Циліндрична система координат
Якщо
в прямокутній системі координат Oxyz
замість перших двох координат х,
у
взяти полярні координати
і ,
а третю координату z
залишити без зміни, то дістанемо
циліндричну систему координат (рис. 7).
Координати точки М
простору в цій системі записуються у
вигляді
.
З
алежності
між прямокутними координатами точки
і її циліндричними координатами
випливають з формул (8.8):
,
(10)
де
.
Отже, якщо прямокутна і циліндрична системи координат розміщені так, як на рис. 7, то зв’язок між прямокутними і циліндричними координатами виражається формулами (10).
Сферична система координат
У
системі координат Oxyz
візьмемо точку М
і через цю точку і вісь Оz
проведемо площину (рис.8).
Нехай r
– відстань від початку координат до
точки М;
– двогранний кут між площинами Ozx
і zOМ;
– кут між віссю Oz
і променем OМ.
Упорядкована трійка чисел r,
,
однозначно визначає положення точки М
у просторі. Ці числа називаються
сферичними
координатами точки М.
Знайдемо залежність між прямокутними і сферичними координатами точки М. З прямокутних трикутників ONM і OPN маємо
,
тоді
,
(11)
де
.
Таким чином, якщо прямокутна і сферична системи координат розміщені так, як на рис. 8, то зв’язок між прямокутними і сферичними координатами виражається формулами (11).