ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Под планированием эксперимента понимается определение цели каждого эксперимента, число серий и измерений в каждой серии, достижение оптимума соотношения экономии

материалов и адекватности проведенных измерений. Однако мало спланировать – необходимо еще так провести эксперимент и оформить его результаты, чтобы они могли быть адекватно восприняты другими исследователями и могли в случае необходимости подтвердить приоритет данного исследователя или лаборатории.

Основные понятия и определения

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах.

Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом.

Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации

является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта.

Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент.

Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок

проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии

экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной

математической модели или определения оптимальных условий).

Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного

знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации

результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть

информации, содержащейся в исходных данных.

Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность

математической модели и судить о ее адекватности.

Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования

эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением

дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения

опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с

наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной

форме с количественной оценкой точности.

Пусть интересующее нас свойство Y объекта зависит от нескольких n - независимых

переменных (Х1, Х2, …, Хn) и необходимо выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление.

Величина Y – называется “отклик”,

3

а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – “функция отклика”.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и

качественные признаки Y.

Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь

количественную оценку.

Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть

присвоено какое-либо число.

Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те

которые можно изменять, не затрагивая другие факторы.

Факторы должны быть однозначными.

Для построения эффективной математической модели целесообразно провести

предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование

и исключить малозначащие факторы.

Диапазоны изменения факторов задают область определения Y.

Система координат, на которой откладывают факторы называется факторным

пространством.

Каждый фактор может принимать в опыте несколько значений, называемых уровнем.

Число уровней определяется конкретной задачей видом фактора.

При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник,

при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб.

При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е.

контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в

опытах и не приводили бы к соотношению

Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической

модели в виде уравнения регрессии

,

где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования,

используют:

планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого

выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих

дальнейшему детальному изучению;

планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов

для объектов с качественными факторами;

планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать

регрессионные модели (полиномиальные и иные);

планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача –

экспериментальная оптимизация объекта исследования;

планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Представление результатов экспериментов

При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти

ответы на 4 вопроса:

Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для

определения функции отклика?

Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm?

Как оценить точность представления функции отклика?

Как использовать полученное представление для поиска оптимальных

значений Y?

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2,

…, Хn называется поверхностью отклика (рис. 1).

Определение необходимого числа измерений

При планировании эксперимента необходимо помнить, что каждое измерение – это затраты времени и ресурсов (трудовых, материальных, финансовых). В определении числа измерений надо учитывать следующие аспекты:

1. Возможность пренебрежения коэффициентом Стьюдента в вычислении погрешностей измерений. Согласно данным таблицы 2, это можно сделать при более чем 7–10 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,68 (который используется по умолчанию) и при более чем 15–20 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,95.

2. Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как лучайную, так и приборную погрешности. Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением количества измерений как а приборная остается постоянной, целесообразно сделать столько измерений, чтобы

т.е. чтобы случайной погрешностью можно было пренебречь по сравнению с приборной погрешностью θ.

Поскольку можно установить, что мы можем пренебречь первым слагаемым, если (часто полагают 2 = k ), для чего необхо димо провести N измерений. Пусть уже проведено n измере-

ний, и получена погрешность измерений n σ (число измерений таково, что мы пренебрегли коэффициентом Стьюдента). Погрешность отдельного измерения можно оценить как

Поскольку

Для минимизации числа измерений используется последовательный анализ, т.е. такой способ статистической проверки гипотез, при котором необходимое число наблюдений

не фиксируется заранее, а определяется в процессе самой проверки. Во многих случаях для получения столь же обоснованных выводов применение надлежащим образом подобранного способа последовательного анализа позволяет ограничиться значительно меньшим числом наблюдений (в среднем, т.к. число наблюдений при последовательном анализе есть величина случайная), чем при способах, в которых число наблюдений фиксировано заранее.

Пусть задача состоит в выборе между гипотезами H1 и H2 по результатам независимых наблюдений. Гипотеза H1 заключается в том, что случайная величина Х имеет распределение вероятностей с плотностью f1(x), гипотеза H2 — в том, что Х имеет плотность f2(x). Для решения этой задачи поступают следующим образом. Выбирают два числа А и В

( 0 <A < B ). После первого наблюдения вычисляют отноше ние λ1 = f2(x1)/f1(x1), где x1 — результат первого наблюдения. Если λ1 < A, принимают гипотезу H1; если λ1 > B, принимают

H2, если A .≤ λ1 ≤. B, производят второе наблюдение и так же исследуют величину

где x2 — результат второго наблюдения, и т.д. С вероятностью, равной единице, процесс оканчивается либо выбором H₁, либо выбором H2. Величины А и В определяются из условия, чтобы вероятности ошибок первого и второго рода (т. е. вероятность отвергнуть гипотезу H1, когда она верна, и вероятность принять H1, когда верна H2) имели заданные значения α1 и α2. Более подробную информацию можно найти в учебниках по математической статистике.

Ведение лабораторного журнала

Лабораторный журнал – официальный документ, имеющий юридическую силу, в котором в последовательном хронологическом порядке указываются условия проведения экспериментов и результаты измерений. Аккуратное ведение лабораторного журнала позволяет исследователю создать адекватный и поддающийся проверке отчет, защитить свой приоритет относительно сделанного им открытия.

Лабораторный журнал представляет собой тетрадь (журнал) с пронумерованными страницами, прошитыми страницами толстой ниткой, концы которой скреплены на послед-

ней странице сургучом с оттиском официальной печати учереждения. Данные следует вписывать ручкой, но не карандашом. Если в процессе занесения в журнал результатов экс-

перимента были позже обнаружены опечатки или фактические ошибки, они исправляются ручкой другого (красного) цвета, ставится дата и фамилия исправляющего. Конечно, эти

требования несколько чрезмерны для выполнения студентами лабораторных работ, но и здесь желательны точность и аккуратность.

Каждый рабочий день в лабораторном журнале выделяется отдельно: дата в начале рабочего дня и заполнение (Z) до начала следующего (чтобы нельзя было в дальнейшем

сделать записи этой датой). Если журнал общий для всей лаборатории, для каждого эксперимента указывают фамилии его участников. Также для эксперимента необходимо указывать цель, используемые материалы, условия проведения (температура, давление, напряженность магнитного поля, частота вращения и т.д.), продолжительность, описание

трудноформализуемых параметров. Это делается как для того, чтобы опыт мог воспроизвести любой другой исследователь, так и для самого экспериментатора – впоследствии можно проанализировать ход эксперимента, наметить пути повышения точности измерений, продумать следующие эксперименты, учесть все факторы при оформлении научных отчетов и статей.

Перед проведением эксперимента исследователь должен заранее продумать роль различных факторов, стоимость используемых в эксперименте ресурсов, учесть возможные

риски для экспериментатора и окружающих, принять необходимые меры безопасности. Все это надо заранее записать в лабораторный журнал, подготовить таблицы для записи однотипных данных.

Требования к оформлению научного отчета

Научный отчет о проведенных исследованиях является не менее важным, чем лабораторный журнал – по нему другие исследователи смогут ознакомиться в вашими результатами. Задача отчета – изложить цель, ход и результаты эксперимента в виде, в котором их наиболее удобно понять и проверить другим людям. В частности, это касается и отчетов о выполнении студентами лабораторных работ – их будут проверять преподаватели и использовать другие студенты.

Важным свойством научного (и любого) отчета является

доверие к нему со стороны читателей. Это значит, что в отчете обязательно следует привести те экспериментальные или статистические данные, на которых основываются ваши выводы – при желании исследователь может повторить расчеты и проверить их достоверность и адекватность полученных вами результатов. Естественно, что они должны быть полностью перепроверены перед представлением отчета на суд научной общественности (или преподавателя).

В отчете нет необходимости рассказывать всю историю получения результатов, а также приводить данные экспери ментов, которые соответствуют тупиковым ветвям исследований или не важны для анонсируемых результатов. Однако все актуальные данные должны быть приведены, независимо от того, свидетельствуют они за или против представленной теории.

При оформлении отчета стоит выделять те экспериментальные данные, результаты и идеи, которые получены другими исследователями и лабораториями. Заниматься плагиатом, т.е. присваивать себе авторство, небезопасно – в случае уличения исследователь может считать свою научную карьеру завершенной, а студент – не ждать хорошей оценки (и,

возможно, ему придется переделывать отчет).

В отчете должны быть четко выделены следующие разделы.

Название отчета – как правило, приводится на титульной странице.

Данные о группе исследователей, выполнивших эксперимент, и лаборатория (предприятие), в котором он проводился.

Цель исследований – кратко формулируются основные задачи или необходимость достижения определенных результатов.

Экспериментальные данные – по аналогии с лабораторным журналом; необходимо указывать используемые материалы, условия проведения (температура, давление, напряженность магнитного поля, частота вращения и т.д.), продолжительность и другие параметры эксперимента, важные для его воспроизведения.

Теоретические выкладки, позволяющие читателям понять те модельные функциональные зависимости, в рамках которых происходит интерпретация экспериментальных данных.

Обработка экспериментальных данных – представление данных в графическом виде (более наглядном для понимания), оценка параметров функциональных зависимостей,

их погрешностей, статистическая проверка гипотез об адекватности используемых моделей. При использовании программных пакетов указывайте их название, версию и значения численных параметров, используемых при обработке данных.

Результаты исследования – приводятся выводы о подтверждении или опровержении рассматриваемых гипотез. Следует использовать глаголы исследованы, проверены, измерены и т.п.

Список литературы – библиографические ссылки на те книги и статьи, из которых были использованы экспериментальные данные, результаты или идеи. Для записи результатов большого количества однотипных измерений удобно использовать таблицы. С их помощью

удается избежать ненужной многократной записи обозначения измеряемой величины, единиц измерения, используемых масштабных коэффициентов и т.п. В таблицы, помимо экс

периментальных данных, могут быть сведены промежуточные результаты обработки этих данных. В заголовок таблицы заносятся размерности величин, характерные степени. Таблицы чертятся с помощью линейки и карандаша (если отчет рукописный). В таблице указывается порядковый номер каждого измерения.

Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной емкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента.

При построении графика следует учитывать следующие характеристики.

Оси – графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси

абсцисс) откладывают аргумент, независимую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую величину.

Масштаб по осям – численное значение физической величины, соответствующее единичному отрезку. Оси необязательно должны содержать начало координат – обычно учи-

тывают минимальное и максимальное значение. При необходимости выбирают логарифмический или двойной логарифмический масштаб.

Подписи осей – название откладываемой величины, масштабный коэффициент.

Шкала – подписи к осям в виде числового масштаба, с учетом масштабного коэффициента. Обычно выбираются некие «круглые» числа с минимумом знаков после запятой.

Масштабная сетка – для удобства определения величин конкретных точек делают тонкие вертикальные и горизон-

тальные линии, которые являются продолжениями отметок

шкалы.

Экспериментальные точки – должны быть отчетливо видны. Если на одном графике показаны несколько зависимостей, их надо выделить точками разного вида (кружочки, ромбики, квадратики и т.д.).

Проведение кривых – экспериментальные точки соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если

известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Правильно построенная кривая должна заполнять все поле гра-

фика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать

масштабы и перестроить зависимость.

Погрешности измерений – вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого

отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку.

Название – под графиком должно быть приведено его название, поясняющее, к чему относится изображенная зависимость.

Все страницы, таблицы, формулы, схемы и графики должны быть пронумерованы (в порядке использования). В начале отчета обычно приводят содержание отчета. Если

таблицы или графики имеют значительный размер и мешают связанному восприятию текста, их стоит вынести в Прило жения и дать на них ссылку в тексте.

3.10. Реалізація плану експерименту

До проведення дослідів необхідно старанно підготуватися: зібрати дослідне устаткування, перевірити і відкалібрувати прилади, підготувати вихідну сировину, скласти спеціальний журнал. Журнал оформлюють завчасно відповідно до методики та плану дослідів так, щоб було видно послідовність дій. На початку журналу обґрунтовують мету дослідження і вибір параметрів оптимізації з зазначенням розмірностей. Далі перераховують фактори та наводять таблицю рівнів факторів та інтервалів варіювання із зазначенням одиниць їх вимірювання. Для матриці планування зручно підвести розворот журналу, щоб була можливість доповнювати її до розрахункової матриці, записати повторні досліди і примітки.

Щоб виключити помилки при виборі умов дослідів, у робочій матриці планування доцільно проставити не тільки кодовані значення факторів, а і натуральні. При складанні робочої матриці планування необхідно залишити місце для стовпців, в яких відмічають дати проведення дослідів.

Щоб виключити вплив систематичних похибок, зумовлених зовнішніми умовами, рекомендують випадкову послідовність при проведенні дослідів, запланованих матрицею (рандолізація). Для рандолізації дослідів використовують таблицю випадкових чисел (дод. 6), або випадкові числа одержують за допомогою генератора випадкових чисел на ЕОМ.

Наведемо простий приклад рандолізації умов експерименту. В повному факторному експерименті 2³ передбачається кожне значення параметра оптимізації знаходити за одним дослідом. Потрібно випадково розташувати всі 8 дослідів. Для цього потрібно скористатися таблицею випадкових чисел (дод. 6). У випадковому місці таблиці виписують числа, від 1 до 8 з вилученням чисел, більших за 8 і вже виписаних. В нашому випадку, починаючи з четвертого стовпця, можна одержати таку послідовність: 2; 5; 8; 1; 3; 7; 4; 6.

Це означає, що пертим реалізують дослід N~2,, другим N  5 і т.Д.

Провівши всі приготування, приступають до проведення експеримен­ту, а після його завершення  до обробки експериментальних резуль­татів.

3.11. Обробка результатів

Схема обробки експериментальних даних залежить від того, як проводились досліди: з повторенням чи без повторення. Якщо досліди проводились з повторенням, то схема обробки ре­зультатів виглядає так:

1. Знаходження коефіцієнтів рівняння регресії.

2. Оцінка дисперсій у кожному рядку таблиці.

3. Перевірка однорідності дисперсій.

4. Розрахунок дисперсії відтворення.

5. Перевірка значимості коефіцієнтів регресії.

6. Перевірка адекватності моделі.

Якщо досліди проводились без повторень по одному разу, то схема обробки результатів буде такою:

1. Знаходження коефіцієнтів моделі.

2. Знаходження дисперсії відтворення.

3. Перевірка значимості коефіцієнтів.

4. Перевірка адекватності моделі.

Знаходження коефіцієнтів рівняння регресії для першої схеми проводиться за середніми значеннями параметра оптимізації в кожно­му вектор-рядку, тобто

де  середнє значення параметра оптимізації в і-му вектор-рядку; і=1; 2, ... ; N  кількість вектор-рядків; j=1, 2, ...; k  кількість факторів.

У випадку другої схеми коефіцієнти моделі обчислюють за формулою:

де позначки ті самі, що і раніше.

Знаходження дисперсії параметра оптимізації. Для обчислення похибки експерименту потрібна дисперсія параметра оптимізації або дисперсія відтворення. Цю величину знаходять на підставі значень повторних дослідів. Якщо в кожному вектор-рядку матриці планування здійснювалась однакова кількість повторних дослідів, то дисперсія параметра оптимізації знаходиться таким чином. Для кожного вектор-рядка матриці планування обчислюють дисперсію досліду:

де і=1, 2, ...; N  номери вектор-рядків; k=1, 2, ... ; n  кількість повторних дослідів у кожному вектор-рядку;  середнє значення параметра оптимізації в кожному вектор-рядку.

Після цього перевіряють однорідність одержаних дисперсій, тобто потрібно впевнитись, то всі групи експериментальних даних одержані з однієї і тієї самої сукупності і дають однакове розсіювання.

Для випадку, коли кількість повторних дослідів у кожному век­ тор-рядку однакова, однорідність дисперсій перевіряють критерієм Кохрена, який є відношенням максимальної дисперсії до суми всіх дисперсій, тобто

де f₁=n1; f₂=N  числа ступеней вільності.

Якщо розраховане значення критерію Кохрена не перевищує табличного G^T (дод. 5), тобто для заданого рівня значущості (як правило, =0,05), то дисперсії є однорідними і їх можна усереднювати. Тоді дисперсія параметра оптимізації

Число ступенів вільності цієї дисперсії f₁=N(n1).

У випадку, коли кількість повторних дослідів у кожному вектор-рядку різна, то однорідність дисперсій перевіряють за критерієм Фішера або Бартлетта. У випадку використання критерію Фішера з усіх дисперсій вибирають найбільшу найменшу і обчислюють критерій Фішера як відношення

де f₁  число ступенів вільності знаменника; f₂  число ступенів вільності чисельника.

Якщо розраховане значення критерію Фішера не перевищує табличного, взятого при тих самих числах ступенів вільності, що і розраховане значення, і для заданого рівня значущості  (дод.7), то порівнювальні дисперсії є однорідними, тобто повинна виконуватись нерівність

Коли найбільша та найменша дисперсії однорідні, то дисперсії, які мають проміжні значення, також будуть однорідними. Тоді дисперсія параметра оптимізації визначається за формулою

де  дисперсії в кожному вектор-рядку; f_i  числа ступенів вільності, з якими знаходились дисперсії у кожному вектор-рядку.

Однорідність дисперсій за критерієм Барлетта перевіряють таким чином. Спочатку обчислюють дисперсію параметра оптимізації:

Далі знаходять розрахункове значення ²  розподілу:

де

Тут число ступенів вільності дорівнює N1, де N  кількість вектор-рядків у матриці планування.

Бартлеттом було показано, що величина

приблизно підпорядковується ²  розподілу з (N1) ступенями вільності. Тому розрахункове значення називають критерієм Бартлетта. Значимість критерію Бартлетта перевіряють звичайним способом, тобто шляхом порівняння розрахункового значення з табличним (дод. 8), взятим при тому самому ступені вільності (N1) і заданому рівні значущості . Якщо виконується нерівність , то окремі дисперсії, що входять до дисперсії параметра оптимізації, є однорідними.

Наприклад, в чотирьох експериментах з нерівною кількістю пов­торних дослідів одержані результати, які наведені в табл. 14.

Таблиця 14

Вихідні дані для обчислення критерію Бартлетта

Номер досліду		fi	Номер досліду		fi
1	3,50	4	3	5,88	3
2	4,22	5	4	22,36	3

За даними табл.. 14 одержимо

Тепер знайдемо величину С та :

Табличне значення  розподілу (дод. 8) для трьох ступенів вільності і рівня значущості =0,05 дорівнює 7,815. Оскільки розрахункове значення менше за табличне, то дисперсії однорідні.

У зв’язку з тим, що плани першого порядку є рентабельними (S²=const), то дублювати всі досліди в матриці планування потреби немає. Дублювання дослідів різко збільшує тривалість дослідження і витрати на його проведення, особливо за великої кількості вектор-рядків у матриці планування. В таких випадках або дублюють будь-який дослід у матриці планування, або проводять повторні досліди на нульовому рівні. Тоді дисперсія параметра оптимізації обчислюється за формулою

де n  кількість повторних дослідів; y_0i  значення параметра оптимізації, які одержані на основному рівні в повторних дослідах;  середнє значення параметра оптимізації, яке обчислене за ре­зультатами повторних дослідів на основному рівні.

Число ступенів вільності цієї дисперсії f₁=n1.

Ми розглянули випадки обчислення дисперсії параметра оптимізації, коли гіпотеза про однорідність дисперсій дослідів правильна. У таких випадках, коли дисперсії є неоднорідними змінюють масштаб для параметра оп­типізації: вводиться деяка математична функція від пара­метра оптимізації, наприклад, квадратний корінь або логарифм.

Перевірка значущості коефіцієнтів регресі. Перевірку значущості коефіцієнтів рівняння регресії можна здійснювати двома рівноцінними способами: 1) побудовою довірчого інтервалу; 2) по обчисленню критерію Стьюдента.

При використанні повного або дробового факторного експерименту довірчі інтервали для усіх коефіцієнтів (в тому числі і для ефектів взаємодії) рівні між собою.

Для знаходження довірчого інтервалу необхідно перш аа все знайти дисперсію коефіцієнтів регресії .

Для випадку, коли досліди в матриці планування повторювались, дисперсія коефіцієнтів рівняння регресії буде обчислена за формулою

де  дисперсія параметра оптимізації; N  кількість вектор-рядків у матриці планування; n  кількість повторних дослідів у вектор-рядках.

Якщо досліди у матриці планування не повторювались, а виконувались повторні досліди на основному рівні, то

а довірчий інтервал (b_j) знаходиться за формулою

де  табличне значення критерію Стьюдента, яке взято для числа ступенів вільності f₁, за якими знаходилась дисперсія параметра оптимізації та рівня значущості  (див. дод. 2).

Коефіцієнти рівняння регресії вважаються значимими, якщо їх абсолютне значення більше за довірчий інтервал, тобто .

Для перевірки значущості коефіцієнтів по обчисленню t  критерію Стьюдента використовують формулу

де  середнє квадратичне відхилення коефіцієнта регресії, яке дорівнює кореню квадратному із дисперсії коефіцієнта регресії.

Обчислені значення t  критерію порівнюють з табличними при заданих  та f₁, Якщо виконується нерівність

то коефіцієнт b_j статистично значимий. За цією методикою значимість кожного коефіцієнта перевіряють окремо. Після перевірки значущості коефіцієнтів b_j до рівняння регресії включають тільки ті коефіцієнти, які є значимими, а всі незначні коефіцієнти відкидають. Одержане таким чином рівняння регресії перевіряють на адекватність.

3.11.3. Перевірка адекватності моделі. Для перевірки гіпотези про адекватність моделі використовують критерій Фішера, розрахункове значення якого знаходять за формулою

де  дисперсія адекватності;  дисперсія параметра оптимізації; f₁  та f₂  числа ступенів вільності, за якими знаходились дисперсія параметра оптимізації та дисперсія адекватності, відповідно.

Розрахункове значення критерію Фішера порівнюють з табличним (дод. 7); взятим при тих самих ступенях вільності, та вибраному рівні значущості , Якщо виконується нерівність

то модель адекватно описує реальну поверхню відгуку.

Таким чином, для перевірки адекватності моделі потрібно знайти дисперсіє адекватності, яка являє собою суму квадратів відхилень експериментальних та обчислених за допомогою рівняння регресії значень параметра оптимізації, поділеної на число ступенів вільності.

Якщо досліди в матриці планування виконувались з повтореннями, то дисперсію адекватності обчислюють за формулою:

де n  кількість повторних дослідів в кожному вектор-рядку; N  кількість вектор-рядків у матриці планування; k  кількість статистично значимих коефіцієнтів (включаючи і b₀); f₂  число ступенів вільності;  середнє експериментальне значення параметра оптимізації в кожному вектор-рядку;  обчисленне значення параметра оптимізації в і- му вектор-рядку.

Якщо досліди в матриці планування проводились без повторень, то дисперсію адекватності обчислюють так:

Наприклад, в результаті реалізації плану експерименту 2² були одержані результати, які наведені в табл. 15.

Таблиця 15

Матриця планування 2²та результати експерименту

Номер досліду	х0	х1	х2	х1х2
1	+			+	35	35,5
2	+		+		60	59,5
3	+	+	+	+	94	94,5
4	+	+			71	70,5

При цьому одержано таке рівняння регресії:

Тому розрахункові значення параметра оптимізації для кожного вектор-рядка будуть такими:

Тоді дисперсія адекватності

Наведені вище формули для дисперсії адекватності прийнятні лише для ненасичених планів, тобто для планів, у яких кількість значущих коефіцієнтів менша за кількість вектор-рядків у матриці планування. Для насичених планів адекватність лінійної моделі перевіряється за допомогою нуль-гіпотези. Її зміст полягає в тому, що для лінійної моделі сума усіх коефіцієнтів регресії b_ij при квадратичних членах повинна дорівнювати нулю.

Цей метод оцінки оснований на тому, що вільний член лінійного рівняння b₀ є сумісною оцінкою:

оскільки всі елементи стовпців x₀ та дорівнюють +1. Якщо ефекти при квадратичних членах відсутні, то , де  середнє значення параметра оптимізації на основному рівні. Це дозволяє використовувати різницю

для орієнтовної характеристики кривизни поверхні відгуку {у} у вибраній частині факторного простору. Тому для перевірки нуль-гіпртези проводять додаткові досліди на нульовому рівні та за їх резуль­татами обчислюють значення критерію Стьюдента:

де N  кількість вектор-рядків у матриці планування;  середня квадратична похибка досліду; f₁=n-1  число ступенів вільності, з якими знаходилась дисперсія параметра оптимізації за «n» повторними дослідами на основному рівні.

Якщо розрахункове значення критерію Стьюдента буде менше за табличне , взяте для того самого ступеня вільності і заданого рівня значущості , то лінійна модель є адекватною, тобто для адекватної моделі повинна виконуватись нерівність .