Відсортування результатів

Якщо при обробці результатів зустрічають «випадаючі» дані, необхідно перевірити: залишати їх у вибірці чи відкидати. Питання про прийняття чи виключення того чи іншого результату можна вирішити на основі загальних міркувань теорії імовірності: будь-яке вимірювання можна вважати помилковим, якщо імовірність його випадкової появи достатньо мала.

Відомо, що в інтервалі знаходяться 99,7% всіх представників вибірки. Якщо така точність є достатньою, то всі результати, що відрізняються від середнього арифметичного більше, ніж на 3σ, можна відкинути як малоймовірні.

На практиці для оцінки результатів вимірювання зручним є критерій Ірвіна, для якого середнє арифметичне і середня квадратична похибка σ розраховуються за всіма результатами експерименту. Критерій оснований на різниці між х_к та х_к+1( найбільшими результатами вимірювання), поділеної на σ: .

Значення функції λ для ймовірностей 0,95 та 0,99 наведені в таблиці:

N	2	3	10	20	30	50	100	400	1000
1 – α = 0,95	2,8	2,2	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8
1 – α = 0,99	3,7	2,9	2,0	1,8	1,7	1,6	1,5	1,3	1,2

Відмітимо, що мова йде про «випадаючі» точки графіку, що знаходяться всередині. Щодо крайніх точок слід бути обережними, оскільки це можуть бути не промахи, а початок нових віток кривої.

Приклад: Перевірити наявність «промахів» для десяти вимірювань електроопору матеріалу при кімнатній температурі.

і	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
хі	38	47	50	41	45	70	39	42	51	40

Знаходимо середнє арифметичне ряду та середнє квадратичне відхилення:

; ;

= (38+47+50+41+45+70+39+42+51+40)=46,3

Найбільшими значеннями у вибірці є х₆ та х₉ :

Для заданої точності 1 – α =0,95 та N=10 табличне значення λ_0,95,10=1,5

Оскільки >λ_таб=1,5, то значення х₆=70 слід відкинути як помилкове. Для скорегованої вибірки знаходимо нове значення 43,6 та σ=4,8. Відмітимо, що після корегування кінцевий результат суттєво змінився.

Визначення необхідного числа експериментів

Щоб вибірка в достатній мірі відображала властивості всієї сукупності, вона крім вимог випадковості повинна мати певний об’єм. Один із зручних способів визначення необхідного числа експериментів оснований на побудові довірчого інтервалу ( ).

Якщо вся сукупність розподілена нормально, то вибіркові значення та S² можна вважати оцінками відповідних параметрів математичного очікування μ та дисперсії σ².

Задавши визначене допустиме відхилення δ з теоретичних чи конструктивних міркувань, розглядають інтервал |а - δ| - |а+δ| та імовірність (1 – α) того, що вибіркове середнє попадає в цей інтервал, тобто

Р( - δ <а< + δ)=2Φ(t),

де Φ(t)= - функція Лапласа.

Приклад. Нехай є 34 заміри (табл.).Визначити необхідне число замірів,що забезпечать задану точність δ=0,5 та надійність (1 – α)=0,95.

і	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
хі	11,7	10	10,8	5,8	11,7	7,5	9,2	12,5	6,6	6,6	8,3
і	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
хі	13,3	9,2	10,8	14,1	7,5	11,7	5,8	9,2	10	8,3	8,3
і	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
хі	12,5	9,2	10	9,2	9,2	9,2	13,3	10,8	9,2	10	8,3	5,8

1. За формулами , та D_x=

обчислюють середнє вибірки 9,5, вибіркову дисперсію D_x=4,99 і середню квадратичну похибку σ=2,23.

2. З конструктивних міркувань σ₀=1,1.

3. Знаходимо коефіцієнт Стьюдента (табл..)при t_0,05,34=2,03.

Тоді необхідне число замірів: n= = 13,4, тобто для надійності 95% отримати точність визначення не гірше 0,5 середньої квадратичної похибки, треба провести не менше 14 вимірів.

4. Визначимо довірчий інтервал, в який попаде 95% імовірного значення середнього арифметичного.

, тобто з даною імовірністю можна вважати 8,7< <10,3.

(n_min= , де k_b= – коефіцієнт варіації, m= – точність процесу)

Як правило, експерименти прямих вимірювань необхідного параметру зустрічаються рідше, ніж експерименти з непрямими вимірюваннями. При чому параметри прямих вимірювань пов’язані з кінцевими вимірами складною функціональною залежністю Х=У(z).

Нехай z=a+b. Тоді похибка Δz складається з Δa таΔb:

= , , , то середнє квадратичне відхилення

Оскільки , то

функція	Приведена дисперсія	Відносна похибка
Аа±Bb	A2a2+B2b2
a*b
a/b
ambn
ea
ln a

1)Однією з основних задач теорії випадкових похибок є визначення похибки функції, якщо відомі похибки її аргументів у=f(х₁,х₂,…х_n).

При дослідженні функції однієї змінної граничні абсолютна та відносна похибки обчислюються за формулами:

, .

Якщо досліджується функція багатьох змінних, то

, .

2)Часто треба встановити оптимальні умови вимірювання, при яких . Якщо досліджують функцію з однією невідомою змінною, то спочатку беруть першу похідну по х і прирівнюють її до 0: знаходимо х₁. Якщо , то при х=х₁ у=f(x) має min.

Якщо функція має кілька змінних, то виконуються ті самі дії. В результаті мінімізації функції встановлюють область вимірювання, де відносна похибка вимірювання мінімальна: .

Довірча імовірність, гарантійний коефіцієнт і значення х_і пов’язані співвідношенням: - інтеграл імовірності чи інтеграл Лапласа.

1 – Ф(t) – рівень значимості. n_u= . При нормальному розподілі похибка, що перевищує довірчий інтервал, буде зустрічатися один раз на n_u вимірювань.

При виконанні вимірювань необхідно знати їх точність m, яку зазвичай характеризують σ₀ – середньоарифметичним значенням середньоквадратичного відхилення σ: ; .

Величину σ₀ називають середньою похибкою.

У дослідженнях часто за заданою точністю m та довірчій імовірності вимірювань Ф(t) визначають мінімальну кількість вимірювань, що гарантуватиме необхідну величину m та Ф(t).

n_min= , де k_b= – коефіцієнт варіації, m= – точність процесу.