Многолучевая интерференция

Мы рассматривали до сих пор интерференцию двух световых лучей. Допустим теперь, что в данную точку пространства приходит лучей одинаковой интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего на одну и туже величину . Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент:

где - волновое число, - направление распространения волны.

Из условия одинаковой интенсивности лучей вытекает равенство амплитудных значений электрической напряженности световых лучей: . Результирующее колебание определится в этом случае выражением:

Полученное выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии равен единице, а ее знаменатель равен . Следовательно:

,

где

(3.19)

- комплексная амплитуда, которую можно представить в виде:

, (3.20)

где - обычная амплитуда результирующего колебания, - его начальная фаза.

Произведение (3.20) на ее комплексную сопряженную является квадратом амплитуды результирующего колебания:

(3.21)

Подставим (3.19) в (3.21) и получим выражение для квадрата амплитуды:

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции лучей, определяется выражением:

, (3.22)

где коэффициент пропорциональности, интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности. При значениях:

(3.23)

выражение (3.22) становится неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:

Полученное выражение также оказывается неопределенным. Применим правило Лопиталя еще раз:

Следовательно, при , что соответствует разности хода , результирующая интенсивность равна:

(3.24)

Полученный результат можно было предвидеть, поскольку в точки, для которых , все колебания приходят в одинаковой фазе. Следовательно, амплитуда результирующего колебания в раз больше амплитуды отдельного колебания, а интенсивность, соответственно в раз больше интенсивности отдельного колебания.

Места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая выражением (3.24) называются – главными максимумами. Положение главных максимумов определяется условием (3.23). Число называется порядком главного максимума.

Рассмотрим, например, промежуток между максимумами нулевого ( ) и первого ( ) порядка. В этом промежутке изменяется от нуля до , а - от нуля до . Знаменатель выражения (3.22) отличен от нуля на всем промежутке, за исключением его концов. В середине промежутка знаменатель достигает максимального значения, равного единице. Величина принимает в рассматриваемом промежутке все значения от нуля до . При значениях числитель выражения (3.22) становится равным нулю. Следовательно, в промежутке между двумя главными максимумами располагается минимумов интенсивности. Их положение отвечают значениям , равным:

(3.25)

В промежутках между минимумами располагаются вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум, ближайший к главному максимуму нулевого порядка, лежит между первым и вторым минимумами. Этим минимумам отвечают значения , равные и . Следовательно, рассматриваемому вторичному максимуму соответствует . Подстановка этого значения в выражение (3.22) дает:

Числитель равен единице. При больших значениях можно положить синус в знаменателе равным его аргументу . Тогда получится:

В числителе получилась интенсивность главного максимума (3.24). Следовательно, при большом ближайший к главному максимуму вторичный максимум имеет интенсивность в раза меньшую, чем интенсивность главного максимума. Остальные вторичные максимумы имеют еще меньшую интенсивность.

Н а рис.46 показан график функции для . Для сравнения штриховой линией показан график интенсивности для . Видно, что увеличения числа интерферирующих лучей главные максимумы делаются все более узкими. Вторичные максимумы настолько слабы, что интерференционная картина представляет собой узкие яркие линии на темном фоне.

Если рассмотреть интерференцию очень большого числа лучей, интенсивность которых убывает в геометрической прогрессии, можно записать:

(3.26)

г де постоянная величина, меньшая единицы. Проделав вычисления, аналогичные для предыдущего случая многолучевой интерференции получим выражение для определения суммарной интенсивности:

(3.27)

где интенсивность первого (наиболее интенсивного луча). Интенсивность максимумов и минимумов, в свою очередь определяется выражениями:

, (3.28)

На рис.47 показан график функции для . Видно, что интерференционная картина имеет вид узких резких линий на практически темном фоне. В отличие от рис.46 вторичные максимумы отсутствуют.