Правила сложения моментов импульса
Рассмотрим
систему, состоящую из двух частиц,
имеющих орбитальные моменты
и
,
и найдем возможные значения суммарного
момента
этой системы. Поскольку
и
векторные величины, то и складываться
они должны по правилам сложения векторов.
Абсолютное значение суммарного момента
зависит от взаимной ориентации
составляющих моментов
и
.
В квантовой механике векторный характер
моментов сохраняется, однако следует
помнить, что как сам момент
,
так и его проекция
квантуются по известным правилам:
,
(2.29)
где
орбитальное
квантовое число системы, а
магнитное квантовое число, определяющее
проекцию момента
на ось
.
Квантовый характер моментов лишает
момент импульса простой классической
наглядности и заставляет внимательно
исследовать правила их сложения.
Н
айдем
связь между квантовыми числами
и квантовыми числами
.
Рассмотрим для этого проекции моментов
импульса на ось
,
рис.47. Обычные правила сложения векторов
показывают, что:
(2.30)
Обратимся
теперь к возможным значениям
.
Нам известно, что
должно быть целым числом, величина
которого зависит от взаимной ориентации
и
.
Задача будет полностью решена, если
будут найдены максимальное и минимальное
значения квантового числа
.
Наибольшее возможное значение
равно наибольшему возможному числу
.
Следовательно:
(2.31)
Р
ассмотрим
геометрический смысл найденного решения.
Выберем наибольший из векторов
и
.
Направим ось
так,
чтобы проекция
на эту ось была максимальной, то есть
,
рис.48. (Направление оси
и вектора
,
как легко видеть, при этом не совпадают,
а образуют наименьший возможный угол).
Направим, далее, вектор
так, чтобы его проекция на ту же ось
была максимальной и, следовательно,
равнялась
.
В классической физике этот случай
соответствует сложению параллельных
векторов.
Минимальное
значение суммарного вектора в классической
физике получается при антипараллельной
ориентации векторов. На векторной
диаграмме моментов минимальное значение
получается при такой ориентации векторов
и
,
когда проекции этих векторов на ось
максимальны, но имеют различные знаки.
Оставим направление
прежним, а направление
заменим на противоположное, рис.49;
проекция это вектора на ось
теперь равна
.
Поэтому имеем:
Это
выражение правильно лишь при
.
При
оно
становится отрицательным, что не имеет
смысла. Правильная запись имеет вид:
(2.32)
Согласно (2.31) и (2.32) имеем:
(2.33)
Из
(2.33) следует, что
может принимать
значение, если
,
и
значение если
.
Случай
(2.31) в классической физике соответствует
сложению параллельных векторов, а (2.32)
- сложению антипараллельных векторов.
В квантовой механике, как мы видим, дело
обстоит сложнее. В самом деле, ни один
момент не может быть направлен по одной
какой-либо оси, так как направления
моментов несколько "размазаны"
из-за неопределенности проекций на оси
и
при определенной проекции на ось
.
Из-за этой "размазанности" квадрат
момента равен
,
а не
,
так что
.
По той же причине:
Покажем,
что выражение (2.33) определяет все
возможные значения
.
Число возможных состояний для частицы
с моментом
определяется числом
,
и равно
.
Аналогично, число возможных состояний
для второй частицы равно
,
а число возможных состояний для системы
двух независимых части равно, очевидно,
.
Рассмотрим теперь ту же задачу, исходя из результирующего механического момента системы .
Число
возможных состояний с различными
для каждого
равно, как всегда,
,
а число различных значений
определяется неравенством (2.33). Пусть
для определенности
;
полное число состояний с различными
возможными значениями
и
равно сумме:
(2.34)
Члены
суммы образуют арифметическую прогрессию
с разностью, равной 2. Сумма (2.34) может
быть найдена как сумма арифметической
прогрессии, состоящей из
членов:
При результат расчета, безусловно, оказывается тем же самым.
Итак, правило (2.33) действительно позволяет находить все возможные значения суммарного механического момента двух частиц. (По этому же правилу находится суммарный механический момент частицы, если она участвует одновременно в двух вращениях.)
Если
система состоит не из двух, а из многих
частиц, то квантовое число
,
определяющее результирующий момент
находится
путем последовательного применения
правила (2.33).
Например:
.
Возможны значения суммарного момента
первой и второй частиц:
т.е. L = 0,1,2 Сложение первого из этих
результатов с
дает
и
далее
,
т.е., L = 3, 2, 1. Следовательно, квантовое
число, определяющее результирующий
момент в рассматриваемом случае может
иметь значения:
L = 0,1,2,3; L min = 0; L max = 3