Лекции 5,6
Квантование энергии
В
соответствие со своим смыслом ПСИ-функция
должна быть: однозначной,
непрерывной и конечной
(за исключением, может быть, особых
точек). Кроме того, она должна иметь
непрерывную и конечную производную.
Совокупность этих требований носит
название: стандартные
условия.
В уравнении Шредингера входит в качестве
параметра полная энергия частицы
.
В теории дифференциальных уравнений
доказывается, что уравнение вида:
имеют решения, удовлетворяющие не любым
параметрам
,
а лишь при избранных значениях.
Эти значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае - ). Решения, соответствующие собственным значениям , называются собственными функциями.
Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, то спектр называется дискретным. В противном случае - сплошной, непрерывный. Мы ограничимся задачами, имеющими дискретный спектр собственных значений.
В
случае дискретного спектра собственные
значения и собственные функции можно
пронумеровать:
;
.
Т.е., квантование энергии получается из
основных положений квантовой механики
без каких-либо дополнительных
предположений.
Нахождение
и
весьма трудная математическая задача.
Рассмотрим простейшие примеры.
Квантование энергии частицы в потенциальной яме
Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.
Предположим,
что частица может двигаться только
вдоль оси
.
П
усть
движение частицы ограничено непроницаемыми
для частицы стенками:
и
.
Потенциальная энергия, на рис.26, она
равна нулю при
и обращается в бесконечность при
<0
и
.
Возьмем уравнение Шредингера в виде:
.
Или в нашем одномерном случае:
(2.16)
За пределы
потенциальной ямы частица попасть не
может. Поэтому вероятность обнаружения
частицы вне ямы равна нулю. Из условия
непрерывности следует, что
должна равняться нулю и на границах
ямы, т.е.
(2.17)
Это и есть условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (2.16). В области, где не равна нулю тождественно (2.16) имеет вид:
(2.18)
(В
этой области U=0). Введем обозначение:
.Тогда
придем к уравнению, хорошо известному
в теории колебаний:
.
Решение этого уравнения имеет вид:
Из граничных условий получим:
1) , Откуда
2)
,
что возможно, если
(
,т.к.
при
частица нигде не находится).
Отсюда
можно записать;
,
и тогда
и, наконец:
Спектр энергии оказался дискретным.
Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений m и n:
.
Если
взять массу порядка массы молекулы
(10-26
кг), а
=0,01 м (молекулы газа в сосуде):
Столь густо расположенные уровни
воспринимаются как сплошной спектр
энергии. Так что хотя квантование энергии
имеет место, но на характере движения
молекулы сказываться не будет.
Если
же взять электрон (m =10-30
кг) в атоме (
=10-10
м), то:
,
следовательно, дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.
Если
мы подставим в решение:
значение
из
выражения
;
при
,
то
,
где
- собственные функции.
Для
нахождения амплитуды
воспользуемся условием нормировки:
На
концах промежутка интегрирования
подынтегральная функция обращается в
ноль. Поэтому значение интеграла можно
получить умножив среднее значение
равное, как известно,
,
на длину промежутка
.
Следовательно:
.
Тогда:
.
Таким образом, собственные функции
имеют вид:
Г
рафики
собственных функций изображены на
рис.27 (А). На рис.27 (Б) дана плотность
вероятности обнаружения частицы на
различных расстояниях от стенок ямы,
равная
.
Анализ полученных зависимостей приводит
к выводу, что в данном случае наблюдается
ряд особенностей, связанных с квантовой
природой рассматриваемого объекта.
Из вида графиков
,
например, следует, что в состоянии с
n=2 частица не может быть обнаружена в
середине ямы и вместе с тем одинаково
часто бывает как в левой, так и в правой
половине ямы. Такое поведение, очевидно,
несовместимо с представлениями о
траекториях. (Согласно же классическим
представлениям все положения частицы
в яме равновероятны).