Формула Релея-Джинса

Следующая попытка теоретического вывода зависимости принадлежит английским ученым Релею и Джинсу, которые применили при рассмотрении теплового излучения методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Релея-Джинса для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела имеет вид:

, (1.8)

где - постоянная Больцмана.

К ак показал эксперимент, выражение (1.8) согласуется с экспериментом только в области малых частот и больших температур. В области больших частот, рис.3, формула Релея-Джинса резко расходится с экспериментом. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Релея-Джинса приводит к абсурду. Действительно:

в то время как по закону Стефана-Больцмана . Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы» – в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре абсолютно черного тела.

Формула Планка

Правильное, согласующееся с экспериментальными данными выражение для универсальной функции Кирхгофа (спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела) было предложено Максом Планком (14.12.1900 г.). Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебаний:

(1.9)

где - постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии :

Используя статистические методы и представления о квантовом характере излучения, Планк получил для универсальной функции Кирхгофа следующее выражение:

, (1.10)

где .

Полученная Планком формула блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения абсолютно черного тела во всем интервале частот нуля до бесконечности и при различных температурах.

Из формулы Планка можно вывести частные законы, описывающие тепловое излучение.

В области малых частот, то есть при (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения), из формулы Планка (10) можно получить формулу Релея-Джинса. Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (14.10), находим, что:

т.е. получили формулу Релея-Джинса (1.8).

В области больших частот, т.е. при (энергия фотона много больше энергии теплового движения) из формулы Планка (1.10) получается закон излучения Вина:

являющийся, таким образом, предельным случаем формулы Планка.

Из формулы Планка можно также получить закон Стефана-Больцмана. Согласно определению излучательности абсолютно черного тела:

подставим значение универсальной функции Кирхгофа, полученное Планком:

(1.11)

Введем безразмерную переменную , тогда формула (1.11) преобразуется к виду:

(1.12)

где , таким образом, формула Планка позволяет получить закон Стефана-Больцмана. Кроме того, подстановка числовых значения констант дает для постоянной Стефана-Больцмана величину, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными.

Аналогичным образом можно получить при помощи формулы Планка закон смещения Вина.