2. Комбінації многогранників

Означення. Многогранник називається вписаним в інший многогранник, якщо всі вершини першого лежать на поверхні (ребрах або гранях) другого многогранника.

При цьому другий многогранник називається описаним навколо першого. Більшість задач на вписані і описані многогранники — це задачі на вписані в піраміду призми, зокрема куби. При цьому вершини нижньої основи вписаної призми лежать в основі піраміди, а вершини верхньої основи — на ребрах або апофемах бічних граней.

Задача 3.1. У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири його вер­шини знаходяться на бічних ребрах, а останні чотири знаходяться в площи­ні її основи. Знайдіть ребро куба, якщо в піраміді сторона основи дорівнює а, а висота — h.

Р озв’язання.

Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, у якої АВ = а, SO_┴ (АВС), SO = h. Оскільки, за умовою, ABCD – квадрат, то його діагональ АС = а , тоді АО = .

Нехай в кубі A₁B₁C₁D₁A₂B₂C₂D₂сторона A₁B₁= х, тодіSO₁ = h – х, A₂О = A₁О₁ = . SAО ∞ SA₁О₁, з подібності трикутників випливає пропорційність сторін: = ;

= ; = ; аh – ах = hх; аh = х(а + h);

тоді шукане ребро: х = .

Відповідь: .

Задача 3.2. Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об’ємів октаедра і куба.

П ояснення побудови описаного навколо куба правильного октаедра.

Через центри протилежних граней куба проведемо прямі, які перетинаються в точці О – центрі куба – і є взаємно перпендикулярними. На кожній із цих прямих з обох сторін від точки О відкладаємо відрізки довжиною 1,5а, де а – довжини ребер куба. Кінці цих відрізків є вершинами правильного октаедра, який утвориться при послідовному сполученні цих вершин.

Р озв’язання.

Нехай ребро правильного октаедра дорівнює а. На рисунку зображено переріз даної комбінації тіл пло­щиною, яка проходить через дві протилежні верши­ни В, D октаедра і центр N однієї його грані.

П ерері­зом октаедра є ромб АВСD, сторона якого дорівнює висоті правильного трикутника зі стороною а: BC = , АС = а. Перерізом куба є прямокутник MNKL,NK–ребро куба, MN – діагональ його грані. Оскільки точка N – центр правильного трикутника, то NC:BC = 1: 3.

Виражаємо через а об’єми октаедра і куба:

ОС = АС = .

З ВОС: ВО = = = .

Об’єм октаедра дорівнює об’єму правильної чотирикутної піраміди з площею основи а² і висотою ВО:

= 2· а² · = .

Оскільки NСК ∞ D, то = = , звідки

NK= ·2· ВО = .

Об’єм V₂куба: V₂ = NK³ = .

Отже, = : = 9 : 2.

Відповідь: 9 : 2.

3. Комбінації многогранників і циліндра

О значення. Призма називається вписаною в циліндр, якщо її основи — рівні многокутники, вписані в основи циліндра, а бічні ребра призми є твір­ними циліндра.

О значення. Призма називається описаною навколо циліндра, якщо її осно­ви — рівні многокутники, описані навколо основ циліндра, а площи­ни граней призми дотикаються до бічної поверхні циліндра.

О значення. Пірамідою, вписаною в циліндр, називається така піраміда, ос­нова якої вписана в одну основу циліндра, а вершина лежить у дру­гій основі циліндра.

Означення. Циліндром, вписаним у піраміду, називається такий циліндр, одна основа якого лежить в основі піраміди, а друга вписана в пере­різ піраміди площиною, що проходить через цю основу циліндра па­ралельно основі піраміди.

Задача 4.1. Знайдіть радіус основи циліндра, описаного навколо правильної трикутної призми, якщо висота призми дорівнює h, а бічна поверхня дорівнює S.

Р озв’язання.

За умовою висота правильної трикутної призми АВСА₁В₁С₁

АА₁ = h,а бічна поверхня S_бічн.= S. З формули для обчислення площі бічної поверхні правильної призми

S_бічн= 3·АА₁·АВ обчислюємо сторону трикутної призми

АВ = . Радіус ОВ основи прямого циліндра, описаного навколо правильної трикутної призми, знаходимо за формулою

R₃= .Звідси

R₃ = : = .

В ідповідь: .

Задача 4.2.У циліндр вписана правильна шестикутна призма. Знайдіть відношення бічних поверхонь циліндра і призми.

Розв’язання.

Площу бічної поверхні прямого циліндра знаходимо за формулою:

S_{бічн.цил.}=2 R_цH_ц, площу бічної поверхні правильної шестикутної призми –

S_{бічн. приз.}= 6· ·H_приз.. Оскільки, висоти циліндра та правильної шестикутної призми і радіус циліндра та сторона вписаної в нього призми - рівні, то відношення бічних поверхонь циліндра і призми матиме такий вигляд:

= = = .

Відповідь: .

Задача 4.3.Основа прямої призми — рівнобедрений трикутник з кутом ( < 90°) при вершині. Діагональ грані, яка проходить через бічну сторону трикутника, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в данупризму.

Р озв’язання.

Нехай в пряму призму АВСА₁В₁С₁, основою якої є рівнобедрений АВС (АВ=ВС), вписано прямий циліндр. За умовою кут при вершині рівнобедреного трикутника АВС буде АВС= ; діагональ грані, яка проходить через бічну сторону трикутника, дорівнює а, тобто СВ₁=а. Оскільки ребро ВВ₁перпендикулярне до площини АВС, то проекцією діагоналіСВ₁ на цю площину є сторона ВС трикутника АВС. Тому за умовою ВСВ₁= .

З ВСВ₁( СВВ₁= 90⁰): ВВ₁=а , СВ=а .

В АВС ВМ – висота, медіана, бісектриса, тому = .

З МВС ( СМВ = 90⁰): МС = а , тоді

АС = 2а , МВ = а .

Радіус кола, вписаного в трикутник лежить на перетині бісектрис кутів, тому в АОМ ( АМО = 90⁰) МАО = 45 - , звідси МО = АМ ) = а ).

Таким чином,S_{бічн.цил.}= 2 ·МО ·ВВ₁,

S_{бічн.цил.}=2 а )а ,

S_{бічн.цил}= а² ).

Відповідь:S_{бічн.цил} = а² ).

Задача 4.4.Основа прямої призми — ромб з гострим кутом . Діагональ бічної грані дорівнює і утворює з площиною основи кут . Знайдіть біч­ну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.

Р озв’язання.

За умовою основою прямої призми АВСДА₁В₁С₁Д₁ є ромб АВСД з гострим кутом , тобто ВАД= . Діагональ бічної грані ДС₁= і утворює з площиною основи призми кут , тобто СДС₁ = .

З С₁СД ( ДСС₁= 90⁰): С₁С = , СД = . Площу ромба обчислимо за формулою S = СД² , тобто

S = ^{2 2} .

З точки В опустимо висоту ВМ, яка буде діаметром основи циліндра, вписаного в цю призму. З формули для обчислення площі ромба: S = АД ВМ, обчислимо ВМ= ,

ВМ = = , звідси знайдемо радіус основи прямого циліндра, який вписано в дану призму:

= .

Таким чином, S_{бічн. цил.}= 2 _ц H_ц, тобто

S_{бічн. цил.}= 2 = .

Відповідь: S_{бічн. цил.}= .

З адача 4.5.Основою прямої призми є прямокутник зі стороною а і кутом , який утворює ця сторона із діагоналлю прямокутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм цилінд­ра, описаного навколо даної призми.

Розв’язання.

Основою прямої призми АВСДА₁В₁С₁Д₁ є прямокутник АВСД з стороною АД= а і кутом , який утворює ця сторона АД з діагоналлю прямокутника АС, тобто САД = . Діагональ призми АС₁ утворює з площиною основи кут , тобто САС₁= .

З АСД ( АДС = 90⁰): АС = , а оскільки діагональ прямокутника є діаметром кола, описаного навколо нього, то радіус цього кола дорівнює половині знайденої діагоналі, тобто R = АС, R = .

З С₁АС ( АСС₁=90⁰): СС₁ = .

Таким чином, об’єм прямого цилінд­ра, описаного навколо даної призми, обчислимо з формули: V_ц = H_ц,

V_ц = = .

Відповідь:V_ц = .

Задача 4.6.У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює а; пе­реріз, проведений через протилежні сторони основ, утворює з осно­вою призми кут . Знайдіть площу бічної поверхні описаного ци­ліндра.

Р озв’язання.

У правильній чотирикутній призміАВСДА₁В₁С₁Д₁, сторона основи якої АД = а, проведено переріз АВС₁Д₁. Його проведено через протилежні сторони основ АВ і С₁Д₁ під кутом до площини основи призми, тобто ДАД₁ = . Оскільки, за умовою, основою даної призми є квадрат АВСД, то його діагональ АС знайдемо за теоремою Піфагора: АС = а . Ця діагональ є діаметром основи прямого циліндра, описаного навколо даної призми. Отже, радіус основи циліндра: R_ц = АС, R_ц = .

З АДД₁( АДД₁= 90⁰): ДД₁ =а .

Площу бічної поверхні описаного ци­ліндра обчислимо з формули S_{бічн. цил.}= 2 _ц H_ц,

S_{бічн. цил.}= 2 а = а² .

Відповідь: S_{бічн. цил.}= а² .

Задача 4.7.У правильній трикутній призмі бічне ребро дорівнює а; відрізок, який з’єднує середину бічного ребра з центром основи, утворює з основою кут . Знайдіть площу бічної поверхні вписаного ци­ліндра.

Р озв’язання.

У правильній трикутній призміАВСА₁В₁С₁ бічне ребро

ВВ₁ = а. З т. О - центра основипрямого циліндра до середини бічного ребра ВВ₁ проведено відрізок ОК, який утворює з площиною основи кут , тобто КОВ = , звідси КВ = .

З КОВ ( КВО = 90⁰): ОВ = . Центр кола, вписаного в трикутник є точкою перетину бісектрис кутів: ОВ, ОС, ОА, а оскільки АВС – правильний, то ОВ = ОС = ОА і С = 60⁰, звідси ОСМ = 30⁰. Тоді ОМ - радіус основи циліндра, вписаного в призму. Отже, за властивістю кута в 30⁰ прямокутного трикутника (АС _┴ОМ): ОМ = .

Виходячи з цього, S_{бічн. цил.}= 2 _ц H_ц,

S_{бічн. цил.}= 2 а= .

Відповідь: S_{бічн. цил.}= .

Задача 4.8.У правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а і двогранний кут при основі - , вписано циліндр. Знайдіть об’єм циліндра, якщо висота циліндра дорівнює радіусу його основи.

Р озв’язання.

У правильній чотирикутній піраміді SАВСДсторона основи СД = а, двогранний кут при основі , тобто

SКО = , бо за теоремою про три перпендикуляри SК_┴СД, ОК_┴СД. В основі даної піраміди лежить квадрат АВСД, тому ОК = .

З SОК ( SОК = 90⁰): SК = .

В цю піраміду вписано прямий циліндр. За умовою висота циліндра дорівнює радіусу його основи, тобто ОО₁ = О₁К₁. Нехай ОО₁ = О₁К₁ = х, тоді

з КРК₁ ( КРК₁ = 90⁰): КК₁ = , КК₁ = .

Оскільки ОР║О₁К₁, то з SО₁К₁ ( SО₁К₁ = 90⁰, SК₁О₁ = ): SК₁ = , SК₁ = = .

Таким чином, SК = SК₁ + КК₁,

+ = ,

х ( + ) = ,

х = .

Об’єм циліндра, вписаного в дану піраміду, обчислюється за формулою V_ц = H_ц, але , тоді V_ц = ,

V_ц = = .

Відповідь:V_ц = .

З адача 4.9.У циліндр, твірна якого дорівнюєl, вписано піраміду так, що її ос­нову — правильний трикутник — вписано в основу циліндра, а вер­шина лежить у другій основі циліндра. Знайдіть бічну поверхню пі­раміди, коли відомо, що дві бічні грані піраміди перпендикулярні до її основи, а третя утворює з основою двогранний кут .

Розв’язання.

Нехай на малюнку дано зображення прямого циліндра, довжина твірної якого дорівнюєl,тобто SС =l. В цей циліндр вписано трикутну піраміду SАВС, основою якої є правильний трикутник АВС. Дві бічні грані пірамідиSСА і SСВ перпендикулярні до її основи, а третя грань SАВ утворює з основою двогранний кут тобто SКС = , бо СК _┴АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри SК _┴ АВ. Звідси висота СК з АВС є його медіаною і бісектрисою, тому АК = КВ.

З SКС ( SСК = 90⁰): КС = l , SК = .

В СКА ( СКА = 90⁰) нехай АК = х, тоді АС = 2х.

За теоремою Піфагора АС² = КС² + АК² , звідси

(2х)² = l² + х²,

х² = ,

х = .

Таким чином, АК = , тоді АС = .

Бічну поверхню пі­рамідиобчислимо за формулою

S_{бічн. пір.}= + + , але = – за І ознакою рівності трикутників, бо – спільна, СА = СВ – за умовою, тоді = .

Таким чином,

S_{бічн. пір.}=2 + = 2 АС + АВ К,

S_{бічн. пір.}= + = (2 + 1).

Відповідь: S_{бічн. пір.}= (2 + 1).