Лубенська района державнаадміністрація

Відділ овіти

Лубенський районний науково – методичний центр

Войнихівська ЗШ І-ІІІ ступенів

Шелег Т.В.

Практикум розв’язування стереометричних задач на комбінації геометричних тіл Лубни - 2015

У порядник:

Шелег Тетяна Василівна,

учитель математики Войнихівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів, стаж роботи 26 років.

Анотація

В посібникурозглядаються питання загальної методики розв’язування стереометричних задач на комбінації геометричних тіл, які сприяють розвитку просторо­вих уявлень і навичок зображення просторових тіл на площині.

Рекомендовано учням загальноосвітніх шкіл, ліцеїв, гімназій та учителям математики для використання на уроках, факультативних заняттях, на засіданнях гуртків.

Апробовано учителями математики Войнихівського методичного округу.

Рецензенти:

Твердоступ Марина Юріївна, директор Лубенського районного науково-методичного центру;

Кравченко Лариса Григорівна, методист Лубенського районного науково-методичного центру.

Рекомендовано радою Лубенського районного науково-методичного центру, протокол №1 від 23.01.2015.

Зміст

ВСТУП 3

1. МАЛЮНКИ ДО ЗАДАЧ. ПОБУДОВА ЗОБРАЖЕНЬ ПРОСТОРОВИХ ФІГУР ПРИ ПАРАЛЕЛЬНОМУ ПРОЕКТУВАННІ 4

2. КОМБІНАЦІЇ МНОГОГРАННИКІВ 10

3. КОМБІНАЦІЇ МНОГОГРАННИКІВ І ЦИЛІНДРА 13

4. КОМБІНАЦІЇ МНОГОГРАННИКІВ І КОНУСА 24

5. КОМБІНАЦІЇ МНОГОГРАННИКІВ І КУЛІ 33

6. КОМБІНАЦІЇ КУЛІ І КОНУСА 36

7. КОМБІНАЦІЇ КУЛІ І ЦИЛІНДРА 39

8. КОМБІНАЦІЇ КОНУСА І ЦИЛІНДРА 42

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 49

ВСТУП

У процесі навчання математики задачі відіграють велику і багатопланову роль. Розв’язуючи задачі, учні засвоюють найважливіші математичні поняття, оволодівають математичною символікою. Крім того, математичні задачі допоможуть підготуватись до засвоєння нових теоретичних питань, сприяти поглибленню здобутих знань, ілюструвати практичні застосування вивченого матеріалу.

У процесі розв’язування задач в учнів формуються навички розумової праці, а також важливі риси характеру: наполегливість, уважність, зосередженість.

У пропонованому посібнику розглядається методика розв’язування одного з широких класів математичних задач - стереометричних задач на комбінації геометричних тіл, які сприяють розвитку просторової уяви учнів, формуванню їх алгоритмічної та обчислювальної культури.Серед таких задач найпоширенішими є задачі на вписані й описані тіла, розв’язування яких починається з вико­нання рисунка і від цього значною мірою залежить успішне розв’язання задачі. Зображення виконуються методом паралельного проектування, і необхідною умовою правильності рисунка є дотримання вимог парале­льного проектування.

1. Малюнки до задач. Побудова зображень просторових фігур при паралельному проектуванні

Особливо важливу роль під час розв’язування стереометричних задач відіграють малюнки. Але малюнок тут – не мета, а тільки допоміжній засіб. Треба намагатись, щоб малюнки були правильними, наочними і щоб їх легко було виконувати. В деяких задачах різні просторові фігури іноді зображають на частинах площини. В окремих випадках можна малювати не всю просторову фігуру, а її осьовий переріз або одну з кількох секцій, або лінію перетину фігур. Замість кулі, вписаної або описаної навколо многогранника, можна малювати коло великого круга, а в деяких випадках – тільки центр і окремі точки її поверхні.

У зошитах учні виконують малюнки олівцем, але зобов’язувати їх завжди малювати тільки олівцем було б неправильно. Непогано, коли учні в чернетках, іноді, малюють не креслярськими інструментами, а від руки і ручкою. Це хороша підготовка до написання тестів зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Виконуючи малюнки до стереометричних задач, слід дотримуватись правил і вимог, встановлених у кресленні. Зокрема слід використовувати такі види ліній:

• суцільна основна;

• суцільна потовщена;

• суцільна тонка;

• штрихова;

• штрихпунктирна.

Суцільними основними обводять лінії видимого контура фігури, потовщеними користуються для виділення тієї чи іншої частини фігури, суцільні тонкі використовують як розмірні і виносні лінії, для штриховки тощо. Штриховими малюють лінії невидимих контурів, штрихпунктирними – осьові і центральні лінії.

На малюнках можна позначати значення довжин, величини кутів, прямі кути, рівні відрізки тощо. Букви і цифри слід писати так, щоб вони не перетинали ліній.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1)  відрізки зображуються відрізками;

2)  паралельні відрізки зображуються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається;

4) паралельною проекцією трикутника (прямокутного, рівнобедреного, рівностороннього, довільного) є довільний трикутник;

5) паралельною проекцією паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата є довільний паралелограм;

6) паралельною проекцією трапеції (довільної, прямокутної, рівнобічної) є довільна трапеція;

7) паралельною проекцією кола є еліпс. При зображенні тіл обертання можна користуватись готовими шаблонами еліпсів.

Зображення правильної трикутної піраміди.

Малюємо довільний трикутник АВС, який вважатимемо зображенням правильного трикутника. Через точку О перетину медіан трикутника АВС, яка зображує центр правильного трикутника, проводимо «вертикальний» відрізок ОS довільної довжини, який буде зображенням висоти піраміди. Точку S сполучаємо відрізками з вершинами трикутника АВС. Аналогічно будують зображення інших правильних пірамід: чотирикутної, шестикутної, тощо.

З ображення правильної призми.

Виконуємо зображення правильного многокутника, який лежить в основі призми,бічні ребра зображуємо у вигляді паралельних і рівних відрізків; з’єднуємо послідовно їх вільні кінці. Невидимі ребра зображають штриховими лініями. Для більшої наочності рисунка висоту призми, а також бічні ребра призми, які перпендикулярні до основи, зображають «вертикальними відрізками».

Зображення циліндра.

Зображення циліндра повинне бути таким, щоб його основи зображувалися однаковими еліпсами, а їх перпендикулярні діаметри – двома спряженими діаметрами еліпса. Але, в більшості випадків, достатньо мати один радіус, один діаметр, один осьовий переріз.

З ображення конуса.

Для зображення конуса проводять «вертикальну» пряму, позначають на ній вершину конуса і зображення центра основи (центр еліпса). Потім проводять дві дотичні до еліпса – твірні конуса.

Зображення кулі (сфери).

При ортогональному проектуванні кулю зображують у вигляді круга. Коло цього круга зображає велике коло сфери, яке обмежує кулю. При цьому радіус круга дорівнює радіусу кулі.

При розв’язуванністереометричних задач часто використовують такі твердження:

а) коли всі бічні ребра піраміди рівні, то всі вони нахилені до площини основи під однаковими кутами і висота цієї піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи піраміди;

б) коли всі двогранні кути при основі піраміди рівні, то висота такої піраміди проходить через центр кола, вписаного в її основу;

в) коли кожний з двогранних кутів при основі піраміди дорівнює α, то площа основи цієї пірамідиQі площа бічної поверхні S пов’язані співвідношенням Q = S .

В процесі розв’язування стереометричних задач на комбінації геометричних тіл можна використовува­ти наступну довідкову схему: