Глава 3. Реализация дифференциальных моделей экономики

3.1.Эластичность функции и её свойства

Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах. Понятие эластичности было введено Аланом Маршалом в связи с анализом функции спроса.

Эластичностью функции Е_х(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при

Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб.) выражается функцией у=-0,5х+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.

Решение. По формуле эластичность себестоимости

При х=60, Е_х=60(у)=-0,6 , то есть при выпуске продукции, равном 60 млн.руб., увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости на 0,6%.

Свойства эластичности.

1. Эластичность - безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х:

Е_ах (by)=Е_х (у)

2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины:

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

3. Эластичность произведения двух функций и (х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

4. Эластичность частного двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

5. Эластичность суммы двух функций и(х) и v(x) может быть найдена по формуле:

Эластичности элементарных функций:

1. Эластичность степенной функции у = х^а постоянна и равна показателю степени а:

2. Эластичность показательной функции у= а^х пропорциональна х:

3. Эластичность линейной функции

Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (а<0), то эластичность функции меняется от нуля в точке у_т пересечения графиком оси у до минус бесконечности (- ) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке. Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, ее эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы ее находим (рис. 1). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках - совершенно неэластичной.

3.2 Предельные показатели в экономике

а) Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть Дх – прирост продукции, тогда Ду – приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё и топливо).

Пример. Пусть зависимость издержек производства от объёма выпускаемой продукции выражается формулой

Определить предельные издержки при объеме продукции Q=15 ден.ед.

Решение. Предельные издержки рассчитываются по формуле , тогда в нашем случае МС=40-0,09Q² , подставив Q=15 ден.ед. получим МС=С’(15)=19,75 ден.ед. То есть дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден.ед.

б) Ещё одним примером предельных показателей в экономике является предельная полезность.

Функция полезности U(х;у) выражает меру полезности набора (х;у), где х – количество товара Х, а у – количество товара У. Чувствительность набора (х;у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью Х и определяется как частная производная U_х^’ . аналогично предельная полезность У определяется как U_у^’ .