Характерной чертой современности является стремительный научно технический прогресс, что требует от менеджеров и бизнесменов значительного повышения ответственности за качество принятия решений. Одним из направлений научно-технического прогресса стало математическое программирование, которое тесно связанное с практическими проблемами оптимального распределения ресурсов в различных отраслях производства и сферы услуг.

Поскольку различные аспекты оптимизации занимают очень важное место в бизнесе и деятельности современных организаций и предприятий, этот сайт может помочь на практике тем людям, которые сталкиваются с такими задачами в своей повседневной работе

Дифференциальные уравнения широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени.

Аналитические (точные) решения нелинейных уравнений возможны в очень ограниченном числе случаев, даже в этих случаях они обычно очень сложны и их трудно представить простыми формулами. Поэтому значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения

Приближенные решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Целью выполнения курсовой работы является исследование дифференциальных моделей экономики

В курсовой работе были поставлены следующие задачи:

- исследовать теоретические основы дифференциальных моделей экономики;

- изучить методы и алгоритмы дифференциальных моделей экономики;

- исследовать вопросы реализации дифференциальных моделей экономики.

Глава 1. Теоретические основы дифференциальных моделей экономики

1. Математическое программирование

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности. В экономике они предшествуют созданию производственных и хозяйственных организаций, обеспечивают их оптимальное функционирование и взаимодействие. В научных исследованиях – позволяют выделить важнейшие научные проблемы, найти способы их изучения, предопределяют развитие экспериментальной базы и теоретического аппарата

Математическое программирование является одним из разделов исследования операций – прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических организационных задач.

Под принятием решений в исследовании операций понимают сложный процесс, в котором можно выделить следующие основные этапы:

1-й этап. Построение качественной модели рассматриваемой проблемы

2-й этап. Построение математической модели рассматриваемой проблемы 3-й этап. Исследование влияния переменных на значение целевой функции 4-й этап. Сопоставление результатов вычислений, полученных на 3-м этапе, с моделируемым объектом, т. е. экспертная проверка результатов (критерий практики) возможны два случая:

1-й случай. Если результаты сопоставления неудовлетворительны, то переходят ко второму циклу процесса

2-й случай. Если результаты сопоставления удовлетворительны, то модель принимается

К первому, уже вполне сложившемуся направлению – собственно математическому программированию – относятся детерминированные задачи, предполагающие, что вся исходная информация является полностью определенной.

Ко второму направлению – так называемому стохастическому программированию – относятся задачи, в которых исходная информация содержит элементы неопределенности, либо когда некоторые параметры задачи носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками

в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.

Линейное программирование – целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств

Нелинейное программирование – целевая функция и ограничения нелинейны. Нелинейное программирование принято подразделять следующим образом:

Выпуклое программирование – целевая функция выпукла (если рассматривается задача ее минимизации) и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача.

Квадратичное программирование – целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.

Важным разделом математического программирования является целочисленное программирование, когда на переменные накладываются условия целочисленности.

Целью математического программирования является создание, где это возможно, аналитических методов определения решения, а при отсутствии таких методов – создание эффективных вычислительных способов получения приближенного решения

1.2.Нелинейность механических систем

Нелинейность механических систем проявляется в случаях, когда упругая восстанавливающая сила нелинейно зависит от смеще­ния точек системы от положения равновесия.

Другой вид нелинейности системы имеет место, когда силы сопротивления движению нельзя представить линейной функцией скорости. При этом упругие силы могут иметь и линейный характер

Значительная часть динамических процессов описывается нелинейными дифференциальными уравнениями с малым параметром вида

где – малая величина. Уравнение (1) обязательно строится таким образом, что при оно является линейным.

В XIX веке появился математический аппарат решения нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Он применялся астрономами для решения задач возмущенного движения планет Солнечной системы. Для примера рассмотрим уравнение

, (2)

где – полином. Начальные условия принимаются в виде

, (3)

а начальные условия с ненулевой обобщенной скоростью могут быть выбором начала отсчета времени приведены к виду (3).

Одним из первых метод разложения решения уравнения (2) в ряд по степеням малого параметра предложил Пуассон в своей «Механике». Решение принимается в виде

. (4)

Здесь – неизвестные функции. Подставляя (4) в уравнение (2), получают систему уравнений:

(5)

с начальными условиями

Для четной функции решение получается периодическим, но если будет включать и нечетные степени переменной q, в правой части уравнения системы (5), которым определяются решения наряду с членами, гармонически зависящими от времени, появятся секулярные (вековые) члены вида и , которые при возрастании t будут расти. Таким образом, пользоваться найденным решением можно лишь для малых значений переменной t. Ниже приводится решение уравнения Дуффинга

(6)

при начальных условиях

, (7)

полученное с точностью до второго приближения

. (8)

В связи с вышесказанным появилось много работ, в основном французских математиков, в которых рассматриваются различные способы уничтожения в решении секулярных членов. Среди них наиболее знамениты работы Лапласа и Лагранжа.

в 1840 году предлагает М. В. Остроградский, который одним из первых применял асимптотические методы в механике. . В качестве примера он рассматривает уравнение (6) при начальных условиях (7) и показывает, что обычный способ дает решение с точностью до величин первого порядка относительно выражение (8). При этом великий ученый замечает, что «… однако это выражение станет неточным вследствие множителя t, находящегося вне знака синуса». В результате он приходит к тому, что нужно изменить частоту колебаний, взяв вместо единицы p, тогда в решении время t содержится уже только под знаком косинуса.

.

Рэлей в своей «Теории звука» рассматривает аналогичное, но более общее уравнение

(9)

при начальных условиях . Восстанавливающая сила в (9) симметрична относительно положения равновесия. Позже это уравнение послужило простейшей моделью для описания флаттера упругих систем.

1.3. Дифференциальные и разностные уравнения в экономико-математических моделях

Нелинейное программирование (NLP, англ. NonLinear Programming) — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением являетсянелинейная функция. Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий

где — параметры, — ограничения,

— количество параметров, — количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями. Если целевая функция является линейной, а ограниченным пространством является политоп, то задача является задачей линейного программирования, которая может быть решена с помощью хорошо известных решений линейного программирования.

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации) или выпуклой (задача минимизации) и множеством ограничений служит выпуклая, то задачу называют выпуклой, и в большинстве случаев могут быть использованы общие методы выпуклой оптимизации.

Если целевая функция является отношением вогнутых и выпуклых функций (при максимизации) и ограничения выпуклые, то задача может быть преобразована в задачу выпуклой оптимизации использованием техник дробного программирования

Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений, является метод неопределенных множителей Лагранжа.