Таким образом, относительное приращение давления пропорционально относительному приращению плотности.

Для плоской ультразвуковой волны, распространяющейся вдоль оси Х, все колебательные параметры зависят от одной координаты x, что позволяет упростить систему уравнений:

;

;

.

В системе 3-х уравнений задействованы три колебательных параметра , и . Воспользовавшись этой системой уравнений можно получить одно уравнение для колебательной скорости .

С этой целью возьмем производную по x:

;

.

Из уравнения следует

.

Подставляя выражение получим

.

Умножим уравнение на . В силу равенства правых частей полученных уравнений находим

.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных является волновым уравнением для плоской волны колебательной скорости , распространяющейся вдоль оси Х.

Постоянный множитель перед представляет собой квадрат скорости распространения волны – c², т.е.

.

Для воздуха при нормальных условиях = 10⁵ Па; = 1,29 кг/м³; = 1,4 (как для двухатомного газа) находим: c = 329 м/c, что соответствует опытным данным.

ЗАДАЧА:

21. Вывести формулу для коэффициента упругости газовой полости k_g, если изолируемая камера является частью цилиндрической трубки высотой h₀:

, (7.3)

где p₀ – давление газа в полости; d – диаметр трубки; γ – отношение теплоемкостей.

Рассчитать частоту возвратно-поступательных колебаний столбика магнитной жидкости в трубке высотой 10 см, удерживаемого над полостью силами магнитной левитации. Пусть γ=1,4, d=1,5 см, p₀ =10⁵ Па, h₀=10 мм.

1.3 Волновое уравнение для жидкостей

К сожалению, применительно к жидкостям не удается получить универсальное уравнение состояния. Причиной этого является близость молекул друг к другу, в результате чего определяющую роль в формировании упругих свойств жидкости играют силы межмолекулярного взаимодействия, которые в каждой жидкости носят сугубо индивидуальный характер. В данном случае приходится использовать эмпирическое соотношение между плотностью и давлением p. При малых амплитудах колебаний между приращением объема и давления (плотности или давления ) существует линейная зависимость

;

,

где коэффициент пропорциональности носит название сжимаемости и имеет размерность Па^-1.

Соотношения можно рассматривать как подобие закона Гука применительно к жидкостям. Значения сжимаемости различно для различных жидкостей и определяется опытным путем. Поэтому уравнение состояния для жидкостей, записанное в виде

следует рассматривать как эмпирическое соотношение. Следует отметить также, что для жидкостей (исключение составляет вода) значение , полученное при постоянной температуре всегда больше значения, полученного при отсутствии теплообмена . При распространении в среде ультразвуковой волны, теплообмен между соседними фазами сжатия и растяжения практически не успевает произойти. Поэтому в уравнении используется именно адиабатную сжимаемость .

Система акустических уравнений для жидкостей имеет вид

;

;

.

Выполняя над системой уравнений преобразования, аналогичные преобразованиям системы уравнений для газов, получим волновое уравнение

.

Откуда

.

1.4 Волновое уравнение для твёрдых тел

Изучение динамики упругих волн в твердых телах начнем с продольных волн в стержнях. Будем описывать движение стержня при помощи неподвижной системы координат, ось X которой параллельна длине стержня (предполагается, что стержень не изгибается, а поперечное сечение его остается постоянным).

Применим 2-ой закон Ньютона к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями с координатами x и x+ x.

Масса этого куска равна

m = ₀S₀ x,

где ₀ и S₀ – соответственно плотность и поперечное сечение стержня в отсутствии деформации (стержень считаем однородным по плотности).

Пусть  - смещение центра масс рассматриваемого куска, а (x) и (x+x) – механические напряжения (т.е. силы растяжения, приходящиеся на единицу площади поперечного сечения стержня).

Тогда

.

Слева стоит произведение массы куска на ускорение его центра масс, справа – результирующая внешних сил, действующих на кусок. Разделим обе части уравнения на S₀x:

Перейдя к пределу при x0, получим

.

Р астяжение куска приводит к его удлинению, т.е. к деформации. Средней продольной деформацией называют отношение удлинения _xx к первоначальной длине x:

.

Продольной деформацией в данной точке называется предел, к которому стремится это отношение при x0, т.е.

.

Связь между напряжением и деформацией в линейном приближении описывается законом Гука

=EQ,

где E – константа, характеризующая материал. Её называют модулем упругости (модулем Юнга).

Подставляя получим:

.

Поделив обе части этого равенства на ₀, находим волновое уравнение

.

Скорость распространения упругих волн в стержне:

.

Смещение частиц распространяется по стержню в виде волн:

.

Колебательную скорость частиц , деформацию S и напряжение  получим, дифференцируя выражения по t и по x:

;

;

.

Таким образом, смещение, колебательная скорость, деформация и напряжение распространяются в стержне в виде волн с одной и той же скоростью.

В твердых телах могут распространяться звуковые волны нескольких типов (мод). В безграничном изотропном твердом теле возможны продольные волны того же типа, что и в жидкости или газе и поперечные (сдвиговые волны). В твердых телах ограниченных размеров возможны волны и других мод (поверхностные, изгибные). Возможность распространения в веществе волн того или иного типа непосредственно связана с существованием определенного типа упругости (модуля упругости).

Если нижнюю грань куба зафиксировать, то, чтобы деформировать его в направлении оси x (т.е. сместить верхнюю грань на _xy) необходимо к его верхней грани приложить тангенциальную силу (напряжение _xy) (рисунок 1).

В пределах упругой деформации выполняется закон Гука:

или при y0:

.

Коэффициент  представляет собой модуль сдвига. Для жидкостей и газов  = 0, отсюда следует невозможность распространенения в этих средах поперечных звуковых волн.

Скорость распространения сдвиговых волн, как известно [ ], вычисляется по формуле

. (19)

Модули Е и  для твердых тел численно отличаются друг от друга, причем Е  , поэтому скорость распространения продольной волны больше скорости распространения сдвиговой волны. Если на одном конце стержня одновременно возбуждаются импульсы продольной и сдвиговой волн, то приходят они к другому концу стержня в различные моменты времени.

В ограниченных твёрдых телах могут распространяться также волны других типов. Из них основное значение имеют: поверхностные волны (волны Рэлея), нормальные волны в слоях (волны Лэмба), изгибные волны.

Поверхностные волны – упругие волны, распространяющиеся вдоль поверхности твёрдого тела или вдоль границы твердого с другими средами и затухающие при удалении от границ. Физическое объяснение природы поверхностных волн состоит в том, что тонкий приповерхностный слой твёрдого тела имеет модули упругости, отличающиеся от модулей упругости внутренних участков. Молекулы, находящиеся на поверхности кристаллической решетки и внутри её испытывают различное силовое воздействие со стороны ближайших соседей.

Поверхностные волны бывают двух классов: с вертикальной поляризацией, у которых частицы колеблются в плоскости, перпендикулярной к граничной поверхности, и с горизонтальной поляризацией, у которых вектор смещения частиц среды параллелен граничной поверхности.

Волны с вертикальной поляризацией называются волнами Рэлея. Они распространяются вдоль границы твёрдого тела. Энергия их локализована в приповерхностном слое толщиной от λ до 2λ. Частицы в волне движутся по эллипсам, большая полуось которых перпендикулярна к границе, а малая – параллельна направлению распространению волны. Фазовая скорость Рэлея c_R ≈ 0,9c_τ, где c_τ – фазовая скорость плоской поперечной волны.

В слоях-листах, стенках труб возбуждаются нормальные моды, их называют волны Лэмба. Волны Лэмба имеют волновидный механизм распространения. Т.е. распространяются в виде нормальных волн, образующихся в результате последовательных отражений от стенок. Скорость распространения этих волн зависит от толщины слоя и частоты.

1.5 Диссипация акустической энергии, обусловленная вязкостью и теплопроводностью среды

Акустические измерения широко используются в научных исследованиях и различных технологических процессах. Измерения такого рода сводятся главным образом к измерению скорости распространения и коэффициента поглощения акустических волн в исследуемых средах. Они применяются в молекулярной акустике [1], теоретическую основу которой составляет релаксационная теория. На основе данных о дисперсии звука и об особенностях его поглощения получают сведения о различных молекулярных процессах в газах, жидкостях, полимерах. Результаты измерений в диапазоне частот от 0,1 МГц до 10 ГГц позволяют выяснить особенности молекулярной структуры вещества, определить энергию взаимодействия молекул, проверить гипотезы о тех или иных моделях молекулярной структуры вещества. Ультразвуковые методы, основанные на измерениях скорости и затухания звука, используются также в технике для определения свойств и состава веществ. Ультраакустические измерения позволяют выявить дисперсный состав гетерогенных сред, устойчивость системы, осуществлять контроль различных физических и химических процессов, протекающих при получении полимеров, в том числе синтетического каучука, в пищевой промышленности, в производстве минеральных удобрений, в нефтедобывающей промышленности и т.п. В реальной среде, характеризуемой определенной сдвиговой и объемной вязкостью, теплопроводностью, различного рода включениями, амплитуда бегущей волны убывает с расстоянием, т.е. упругая энергия рассеивается (диссипирует), превращаясь в конечном итоге в тепловую энергию [1]. Если интенсивность плоской звуковой волны на расстоянии x от источника равна . То вследствие диссипации упругой энергии в плоскопараллельном слое среды толщиной dx происходит убыль интенсивности dI на величину

, (17.1)

где - энергетический коэффициент поглощения.

Разделив переменные в уравнении (17.1) имеем

.

Интегрируя это уравнение в пределах от источника (x = 0, ) до произвольной точки x, получим закон уменьшения интенсивности звука с расстоянием

. (17.2)

Согласно (3.12) , поэтому после извлечения из обеих частей выражения (17.2) квадратного корня, получим

или

, (17.3)

где - коэффициент поглощения звуковой волны.

Из (17.3) следует, что в результате диссипации звуковой энергии амплитуда смещения частиц убывает с расстоянием по экспоненциальному закону, причем энергетический коэффициент поглощения равен удвоенному амплитудному коэффициенту поглощения.

Рассмотрим вклад в диссипацию звуковой энергии механизмов, связанных с вязкостью и теплопроводимостью сред.

Выражение для энергии dI, которая превращается в тепло в объеме из-за действия вязких сил, выражается формулой:

. (17.8)

Сравнивая правые части (17.7) и (17.1), находим для коэффициента поглощения по энергии γ_э и по амплитуде звуковой волны α выражения:

; (17.9)

. (17.10)

Следует отметить, что в выражениях (17.9) и (17.10) под коэффициентом понимают эффективную вязкость. Для продольных волн

, (17.11)

где - сдвиговая вязкость;

- объемная вязкость.

Объемная вязкость определяет диссипативные силы, возникающие при всестороннем расширении или сжатии реальной среды.

Таким образом, коэффициент поглощения, обусловленный эффективной вязкостью, прямо пропорционален квадрату частоты. Однако этот вывод на практике подтверждается лишь в области относительно низких частот, что связано с релаксационными свойствами вязкости и относится к предмету изучения молекулярной акустики.

Вклад теплопроводности в поглощение звука впервые был учтен Кирхгофом в 1868 г.

Звуковые волны представляют собой адиабатный процесс. При распространении звука в фазе сжатия происходит нагревание, а в фазе разряжения – охлаждение среды. В результате теплообмена между местами с различной температурой будет происходить обмен энергией, так что процесс деформации оказывается не строго адиабатным. Теплообмен между соседними полуволнами влечет за собой уменьшение амплитуды звукового давления (возмущение плотности) и способствует превращению упругой энергии в тепловую энергию.

Поглощение звука, вызванное теплообменом, для не слишком высоких частот, пропорционально квадрату частоты

, (17.12)

где – коэффициент теплопроводности среды;

С_P и C_V - молярные теплоемкости.

Суммарный коэффициент поглощения звука имеет вид:

. (17.13)

Формула (17.13) при носит название формулы Стокса-Кирхгофа.

Полезно оценить сравнительную роль разных членов в выражении (17.13). Вопрос о роли объемной вязкости мы рассмотрим отдельно. Вклад сдвиговой вязкости и теплопроводности в поглощение оказывается различным. В случае газов вязкость и теплопроводность примерно одинаково влияют на поглощение. Для большинства жидкостей (за исключением жидких металлов) член с теплопроводностью составляет несколько процессов и его можно не учитывать. В жидких (расплавленных) металлах большая часть поглощения вызвана теплопроводностью.

ЗАДАЧИ:

1. Наночастицы, диспергированные в жидкости, при распространении в ней упругой (звуковой, ультразвуковой, гиперзвуковой) волны оказываются под воздействием переменного по знаку всестороннего давления:

.

Перепад давления в звуковой волне на расстоянии, равном диаметру магнитной наночастицы D:

Δp= .

Получить численное значение отношения Δp/δp₀=kD=2πνD/c при D=10^-8 м, ν=20·10³ Гц, c=10³ м/с. (~ 10^-6)

2. В звуковой волне в результате адиабатности процесса колебаний среды наблюдаются колебания температуры δТ :

;

где – температурный коэффициент расширения;

– плотность жидкости;

с – скорость распространения звука в МЖ в отсутствие магнитного поля;

С_p – удельная теплоемкость при постоянном давлении и постоянной напряженности магнитного поля;

δρ/ρ – деформация среды.

Оценку «сверху» колебаний температуры выполним в предположении, что амплитуда деформации в звуковой волне составляет 10^-4. При таком значении амплитуды деформации в магнитной жидкости могут появляться отдельные воздушные пузырьки – предвестники ультразвуковой кавитации и другие нелинейные эффекты.

Пусть C_p=2·10³ Дж/кг·К, c=1120 м/с, q=0,53·10^-3 К^-1, Т= 300 К, тогда δТ ≈ 10^-2 К.

9.. Пренебрегая массой элемента трубы и принимая в расчет только его упругость, получена следующая формула, связывающая с и с₀:

,

где R₁ – внешний радиус трубы, R₂- внутренний радиус трубы, - сжимаемость жидкости.

Рассчитать скорость звука в жидкости, заполняющей стеклянную трубу. Параметры стекла: модуль Юнга Е=7,26·10¹⁰ Па, плотность стекла _t=2400 кг/м³, скорость продольных волн в стекле с=5500 м/с. Скорость звука в «неограниченной» жидкости с₀=1200 м/с. ρ_f = 1000 м/с. Стенки трубы: R₁=7 мм; R₂=6мм.

3. Для оценки относительного приращения намагниченности МЖ за счет деформации среды в отсутствие тепловых колебаний, т.е. при q = 0, имеем:

,

где М и ρ – намагниченность и плотность среды в невозмущенном состоянии.

Пусть C_p=2·10³ Дж/кг·К [35], c=1120 м/с [64], q=0,53·10^-3 К^-1, тогда =0,33.

При сделанных выше допущениях ≤10^-4.

С учетом тепловых колебаний в звуковой волне:

≤0,5·10^-4.

Таким образом, ультрамалые тепловые колебания, сопровождающие звуковую волну, вносят в возмущение намагниченности МЖ вклад, соизмеримый со вкладом колебаний концентрации наночастиц дисперсной фазы.

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ПО АКУСТИКЕ

1. Найти длину волны звука с частотой 435 Гц, распространяющегося в воздухе. Скорость звука принять равной 340 м/с. (0,78 м)

2. Человеческое ухо может воспринимать звуки с чостотой от 20 Гц до 20 кГц. Найти соответствующий диапазон длин волн. Скорость звука принять равной 340 м/с. (17мм – 17м)

3. Найти скорость распространения звука в воздухе при температурах: -20^оС; 0 ^оС; +20 ^оС.

4. Во сколько раз скорость распространения звука в воздухе летом (+20 ^оС) больше скорости звука зимой (-25 0 ^оС).

5. Зная, что средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа была равна 461 м/с, найти скорость распространения звука в газе при этих условиях.

6. Найти скорость распространения звука в двухатомном газе, если известно, что плотность этого газа при давлении 760 мм рт. ст.равна 1,29 кг/м³.

7. Зная, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул одного киломоля азота равна 3,4 10³ кДж, найти скорость распространения звука в азоте при этих условиях. (336 м/с)

8. При образовании стоячей волны в трубе, заполненной воздухом, образовалось 5 пучностей. Какова длина трубки? Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/с, частота звуковых колебаний 100 Гц, на торцах трубы расположены пучности.

9. Скорость звука в керосине 1330 м/с. Плотность ρ=800 кг/м³. Найти адиабатную сжимаемость керосина.

10. Найти скорость распространения звука в алюминии. Е=6,9 10¹⁰Н/м², ρ=2600 кг/м³.

11. Найти скорость распространения звука в меди Е=11,8 10¹⁰Н/м², ρ=8600 кг/м³.

12: В результате взрыва, произведенного геологами, в земной коре распространилась волна со скоростью 4,5 км/с. На какой глубине залегает порода другой плотности, если отраженная от нее волна была зафиксирована на поверхности через 20 с после взрыва?

13: Из орудия произвели выстрел под углом 26° к горизонту. Артиллерист услышал звук разрыва снаряда через 44 с после выстрела. Какова горизонтальная дальность полёта снаряда, если его начальная скорость 800 м/с?