Математические модели механических систем (мм мс)

В механических системах в зависимости от характера их функционирования происходят процессы деформации твердой упруго-пластической среды с распределенными переменными или движение сосредоточенной области с расчетными скоростями и перемещениями под действием внешних сил или моментов.

Основной субстанцией является импульс сил деформации для механических упругих систем (МУС) и количество движения для систем поступательного, вращательного или плоскопараллельного движения (МСПД, МСВД, МСППД).

или .

Микропоток импульса сил деформации в направлении каждой из координатных осей соответствует тензорному вектору нормальных и касательных напряжений. Так для направления оси x:

, (42)

где _xx – нормальные напряжения вдоль оси x по поверхности, перпендикулярной оси x;

_xy, _xz – касательные напряжения вдоль оси x по поверхностям, перпендикулярным осям y и z соответственно.

Тензор напряжений состоит из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, записанные в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения, а в остальных позициях – касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

И ногда для удобства касательные напряжения обозначают тоже буквой «».

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

или

(43)

Составляющие вектора тензора напряжений для объемно-деформированного состояния упругой среды определяются соотношениями теории упругости:

где – абсолютные деформации в направлениях осей координат;

– параметры Ламе;

E,  – модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона.

Подставив выражения для нормальных и касательных напряжений через деформации и выполнив достаточно простые преобразования, получим уравнение сохранения импульса сил деформации или основное уравнение упругости Ламе:

(44)

Аналогичные уравнения можно записать и по двум другим направлениям

В векторном виде эта система уравнений имеет вид:

. (45)

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для –

для автономной области;

–

при взаимодействии области с соседними механическими системами задается поле переменных действия по поверхности (внешних давлений).

Распределенные одномерные модели

Для одномерной модели уравнение сохранения импульса сил деформации упрощается:

(46)

НУ:

ГУ: для x = x_a ;

для x = x_b

Сосредоточенные динамические модели

Сосредоточенная модель механических систем – это система обыкновенных дифференциальных уравнений основного закона механики (второго закона Ньютона) для поступательного и вращательного движения.

для МСПД

для МСВД (47)

МСППД

Для плоскопараллельного движения система уравнений имеет вид:

Построение сосредоточенных моделей

для многосистемных технических объектов

Для анализа функционирования многих динамических объектов при их эскизном проектировании вполне допустимо обойтись без учета распределенности параметров в рабочих средах и основываться лишь на результатах расчетов сосредоточенных математических моделей. Такой подход обоснован относительной простотой и достаточной достоверностью таких моделей. При этом следует учесть, что моделирование процессов на основе пространственного изменения переменных не всегда дает более точный и достоверный результат, так как решение задач в значительной степени зависит от корректности и точности задания граничных условий, что в некоторых случаях становится затруднительным или просто невозможным в виду отсутствия полной и адекватной информации о взаимодействии физических систем по поверхностям границ.

Рассмотрим пример построения сосредоточенной ММ для объекта, представляющего собой образец ствольного оружия с движением продольно-скользящего затвора за счет наличия бокового газоотводного устройства и торможением отката ствола ствольной пружиной и гидравлическим амортизатором. В качестве начального момента процесса примем момент прохождения пулей газоотводного отверстия в канале и начала заполнения газом рабочего объема в боковом устройстве.

На рисунке представлена принципиальная схема оружия и указаны взаимодействующие физические системы объекта, пронумерованные в порядке их соподчиненности, т.е. действия одной системы на другую. При составлении ММ учитываем теплоотдачу только от газа к стенкам ствола. При этом температуру стенок ствола считаем постоянной.

ГДС(1) – расширение газа в объеме заснарядного пространства.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Переменные системы:

1. ₁(t) – плотность пороховых газов в канале ствола;

2. p₁(t) – давление пороховых газов в канале ствола;

3. W₁(t) – заснарядный объем;

4. G_(1-2)(t) – расход газа из канала ствола в боковое устройство;

5. q_S(1-c)(t) – плотность теплового потока от газа к стенкам трубы;

6. S_(1-с)(t) – площадь боковой поверхности канала ствола.

Переменные соседних систем:

7. p₂(t) – давление пороховых газов в боковом устройстве;

8. w₃(t) – перемещение снаряда относительно ствола;

9. V₃(t) – скорость снаряда относительно ствола.

Дополнительные переменные и константы:

10. S_(1-3) – площадь границы между ГДС(1) и МСПД(3) (площадь дна снаряда).

11. S_(1-2) – площадь границы между ГДС(1) и ГДС(2) (площадь сечения канала в боковое устройство);

12. – коэффициент расхода из канала ствола в боковое устройство;

13. T_c – температура стенки ствола;

14. _б – коэффициент теплоотдачи от пороховых газов к стенке ствола;

15. k – показатель адиабаты пороховых газов;

16. R – газовая постоянная;

17. l_1н – начальная длина заснарядного объема;

18. d – калибр.

ГДС(2) – заполнение газом объема бокового устройства.

7)

8)

9)

Переменные системы:

19. ₂(t) – плотность пороховых газов в боковом устройстве;

20. W₂(t) – объем пороховых газов в боковом устройстве.

Переменные соседних систем:

21. w₅(t) – перемещение поршня толкателя относительно цилиндра устройства;

22. V₅(t) – скорость поршня толкателя относительно цилиндра устройства.

Дополнительные переменные и константы:

23. S_(2-5) – площадь границы между ГДС(2) и МСПД(5) (площадь поршня бокового устройства);

24. l_2н – начальная длина газового объема в боковом устройстве.

МСПД(3) – движение снаряда (пули) в канале ствола.

10)

11)

Дополнительные переменные и константы:

25. – масса снаряда (пули).

МСПД(4) – движение подвижной части оружия.

12)

13)

Переменные системы:

26. – абсолютное перемещение подвижной части оружия (ствола и элементов гидроамортизатора);

27. – абсолютная скорость подвижной части оружия.

Переменные соседних систем:

28. – давление в потоке жидкости системы ГМС(6) в сечении внутреннего цилиндра гидроамортизатора, прилегающего к подвижному штоку оружия.

Дополнительные переменные и константы:

29. m₄ – масса подвижной части оружия;

30. – площадь поршня гидроамортизатора;

31. – начальное усилие пружины ствола;

32. с₄ – жесткость пружины ствола.

МСПД(5) – движение толкателя газоотводного устройства.

14)

15)

Дополнительные переменные и константы:

33. – масса затвора и штока с поршнем бокового устройства;

34. – начальное усилие пружины затвора;

35. с₅ – жесткость пружины затвора.

ГМС(6) – движение потока жидкости во внутреннем цилиндре гидроамортизатора.

16)

17)

18)

Переменные системы:

36. – скорость потока жидкости в сечении внутреннего цилиндра гидроамортизатора, прилегающего к подвижному штоку оружия;

37. – объемный расход газа через дроссельные отверстия гидроамортизатора;

38. – давление в потоке жидкости в сечении, прилегающем к дну цилиндра, где скорость потока .

Дополнительные переменные и константы:

39. – плотность жидкости.

ГМС(7) – движение потока жидкости в наружном цилиндре гидроамортизатора.

19)

20)

Переменные системы:

40. – давление в жидкости в наружном цилиндре гидроамортизатора.

Дополнительные переменные и константы:

41. – скорость потока жидкости в дросселирующих отверстиях;

42. – площадь дросселирующих отверстий;

43. – коэффициент местного гидравлического сопротивления в дросселирующих отверстиях гидроамортизатора.

ГДС(8) – сжатие газа в наружном цилиндре гидроамортизатора.

21)

22)

23)

24)

Переменные системы:

43. – плотность газа в наружном цилиндре гидроамортизатора;

44. – давление газа в наружном цилиндре гидроамортизатора;

45. – объем газа в наружном цилиндре гидроамортизатора.

Дополнительные переменные и константы:

46. k₈ – показатель адиабаты газа;

47. m₈ – масса газа в гидроамортизаторе.

Т.о. модель включает 24 переменные (

и 24 уравнения, 12 из которых являются обыкновенными дифференциальными, а остальные – алгебраические.

ММ дополняется начальными условиями: