Математические модели гидромеханических систем (мм гмс)

В гидромеханических системах происходят процессы вытеснения и движения потоков несжимаемой и вязкой среды, обладающей достаточно высокой плотностью. Процессы в ГМС связаны с воздействием на них внешних гидравлических потоков, подводящих или отводящих жидкость из системы.

При формировании ММ ГМС в качестве основы используем рассмотренные выше модели для газодинамических систем с условиями постоянства плотности среды, наличия микропотоков количества движения, связанных с вязкостью, а также внутренним изменением количества движения от гравитационных сил.

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

В качестве субстанций принимаются все возможные виды:

• вещество (плотность жидкости)  ;

• количество движения:

• энергия:

Макропотоки субстанций:

• вещества:

• количества движения:

• энергии:

Вязкость жидкости учитывается в уравнениях сохранения количества движения в качестве микропотоков, а именно:

где  – коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Уравнение сохранения вещества:

Для (26)

Уравнение сохранения количества движения вдоль оси x:

(27)

Используя выражение (27), запишем уравнения сохранения количества движения по двум остальным осям:

(28)

(29)

Закон сохранения количества движения для ГМС можно выразить также через полные производные субстанции по времени. Покажем это преобразование на примере выражения (27).

Полная производная имеет вид:

Тогда выражение (27) можно записать как

Учитывая выражение (26), получим

(30)

Аналогично (31)

(32)

Покажем, что закон сохранения энергии для гидромеханических систем вырождается и может быть использован при моделировании только лишь в части сохранения тепловой энергии.

Учитывая выражение (26), получим

Отсюда следует, что изменение по времени энергии в гидромеханической системе за счет действия макропотоков отсутствует, т.е. запас энергии в системе постоянен (при отсутствии теплообмена).

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для

или

Распределенные одномерные модели (динамические и статические)

Одномерная модель характеризует процессы течения жидкости в гидропроводе. Для гидропровода с постоянной площадью поперечного сечения:

Для (33)

или (34)

НУ:

ГУ: для ;

Для гидропривода с переменной площадью поперечного сечения уравнение сохранения вещества (неразрывности потока) можно видоизменить, если в качестве субстанции рассматривать массу жидкости, отнесенную к единице длины гидропровода, т.е.

. (35)

Сосредоточенные динамические модели

Как правило, сосредоточенные ММ гидромеханических систем используются для расчетов и анализа процессов течения жидкости в гидромагистралях, гидроцилиндрах и элементах гидроаппаратуры, в которых направление скорости потока всегда совпадает с геометрической осью устройства.

Р ассмотрим расчетную схему:

Из уравнения (35) получим

(36)

где – объемный приход или расход жидкости.

Уравнение сохранения количества движения получим на основе уравнения (34), отбрасывая в правой части составляющую, характеризующую влияние вязкости:

или . (37)

Из уравнения (34) также легко получить известное вам уравнение Бернулли:

Учитывая, что а , получим

(38)

При выполнении проектно-технических расчетов учитывают вязкость жидкости, вводя в уравнение Бернулли гидравлические потери энергии на местных и линейных сопротивлениях:

(39)

где V_* – определяющая для расчета потерь энергии скорость течения.