Математические модели газодинамических систем (мм гдс)

В газодинамических системах происходят процессы сжатия, расширения и движения потоков газовой среды при действии на нее внешних возмущающих факторов в виде дополнительного подвода или отвода газа. При формировании ММ для газообразных сжимаемых сред можно принять допущения:

1. Гравитационной составляющей энергии в виду ее относительной малости в сравнении с другими формами энергии можно пренебречь;

2. Влияние относительно низкой вязкости газа на изменение количества движения потока незначительно и может не учитываться.

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

В качестве субстанций принимаются все возможные виды:

• вещество (плотность газа):  ;

• количество движения:

• энергия: .

Для сжимаемой среды можно объединить деформационную и тепловую составляющие энергии. Учитывая то, что , и получим:

Макропотоки субстанций:

• вещества:

• количества движения:

• энергии:

Микропотоки субстанций для ГДС связаны с диффузионными процессами и вязкостью среды и в большинстве задач не рассматриваются.

– уравнение сохранения вещества (19)

– уравнения сохранения количества движения (20)

– уравнение сохранения энергии (21)

В уравнениях (20) изменение количества движения происходит и за счет наличия градиентов давлений между соседними слоями движущегося потока, что отражено через параметры:

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для

или

Последнее выражение определяет удельный массовый расход газа для подкритического режима течения через отверстие площадью S_г как открытую для вещества граничную поверхность, т.е. при .

Здесь p_c – значение противодавления в газовой среде, куда истекает рассматриваемый поток, – коэффициент расхода.

Если , то истечение происходит с критической скоростью и удельный массовый расход равен

Распределенные одномерные модели (динамические или статические)

Одномерная модель характеризует процессы течения газового потока в газопроводе и представляет собой систему из трех уравнений в частных производных:

(22)

НУ:

ГУ: для x = x_a

Сосредоточенные динамические модели

Сосредоточенную газодинамическую область, в которой за счет наличия втекающих и вытекающих потоков происходит изменение давления и плотности, можно представить следующим образом:

У равнение сохранения вещества:

, ,

,

(23)

Сначала рассмотрим случай, когда есть один втекающий поток газа, т. е. две подсистемы – ведущая (0) и подчиненная (1). Уравнение сохранения энергии запишем в виде первого начала термодинамики

.

Изменение количества теплоты в системе равно алгебраической сумме изменений за счет потока втекающего газа и за счет потерь теплоты вследствие теплообмена с соседними системами

.

С другой стороны

Приравняем эти выражения, выделим dp и разделим на dt.

;

;

;

. (24)

Расход через отверстие вычисляется по формулам:

для подкритического режима, т.е. при выполнении условия . В противном случае при критическом режиме течения

.

Для нескольких взаимодействующих газодинамических систем с учетом направления движения газовых потоков уравнение сохранения энергии (24) запишется в виде:

(25)

Здесь – определяющие давление и плотность газа.

Если поток вытекающий G_i< 0, в качестве определяющих принимаются параметры в рассматриваемой системе, т.е.

Если поток втекающий G_i> 0, в качестве определяющих принимаются параметры в соседней системе, т.е.

Скорость изменения объема ГДС зависит от конструктивной схемы:

• для жестких резервуаров ;

• для цилиндрических объемов с подвижным дном величина определяется поперечной площадью цилиндра S и скоростью подвижного дна V;

• для упругих резервуаров изменение объема зависит от изменения давления через коэффициент податливости k_L в а) линейной или б) нелинейной формах.

а) б)