Математические модели физических систем Математические модели тепловых систем (мм тс)

В тепловых системах происходят процессы нагрева или охлаждения среды при действии на нее внешних тепловых потоков. В твердых и жидких средах эти процессы не зависят от переменных состояния соответствующих механических или гидромеханических систем, однако для газодинамических систем изменение температуры всегда связано с изменением давления и плотности газовой среды. В этом случае тепловая система, как самостоятельно функционирующая, вырождается. Таким образом, ММ ТС будем рассматривать только для твердых или жидких несжимаемых сред с постоянной плотностью.

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

В качестве субстанции рассмотрим тепловую энергию:

Потоки тепловой энергии: макропоток микропоток (15)

где – коэффициент теплопроводности среды.

Согласно уравнения (7) получим

или

(16)

Начальные и граничные условия:

НУ:

ГУ: для

или

Распределенные одномерные модели (динамические или статические)

ММ несколько упрощается:

для статической ММ (17)

НУ:

ГУ: для или

для

Сосредоточенные динамические модели

С осредоточенная область, ограниченная n отдельными поверхностями, через которые происходит теплообмен с соседними системами посредством воздействия тепловых потоков q_Sгi .

Математическая модель:

или . (18)

НУ: T(t = 0) = T₀ .

Аналитические решения распределенных статических одномерных моделей для некоторых характерных тепловых процессов в технических объектах

1. Моделирование статического процесса теплопередачи через плоскую твердую стенку между двумя жидкими средами.

Известно: h – толщина стенки; λ – коэффициент теплопроводности материала стенки; T_ca, _a – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой слева от нее; T_cb, _b – температура среды и коэффициент теплоотдачи между средой и стенкой справа от нее.

Требуется получить зависимость температуры по толщине стенки.

Модель одномерная статическая. Вещество внутри стенки не перемещается, поэтому в уравнении (16) будет присутствовать только микропоток тепловой энергии.

Отсюда

ГУ слева:

ГУ справа:

Температурное поле в стенке T(x) линейно относительно координаты x. Граничные условия образуют систему из четырех алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных , , c₁, c₂.

2. Моделирование статического процесса теплообмена между потоком нагретой жидкости, движущегося в прямолинейном трубопроводе с постоянной площадью сечения через его боковую цилиндрическую стенку.

Известно: d – средний диаметр трубопровода; L – длина трубопровода; _ж, с_ж – плотность и теплоемкость жидкости-теплоносителя; V_ж – средняя скорость движения жидкости в трубопроводе; T_a – температура втекающего в трубопровод потока жидкости (граничное условие); T_cб, _б – температура стенки и коэффициент теплоотдачи между жидкостью и боковой поверхностью трубопровода.

Требуется получить зависимость изменения температуры теплоносителя по длине трубопровода.

Задача моделирования решается без учета микропотока тепловой энергии, а отвод ее через боковую стенку определяется через использование условной скорости исчезновения субстанции внутри самой системы, что возможно для осесимметричных объектов.

Используя уравнение (10), получим:

ГУ: при x = 0 T(0) = T_a.

Решение уравнения:

Найдем общее решение однородного уравнения

Заменим постоянную С неизвестной функцией u(x), тогда а . Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Тогда

Константу интегрирования найдем из граничного условия

Отсюда .

Тогда

3. Моделирование сосредоточенного динамического процесса нагрева (охлаждения) геометрического объекта с осредненной температурой при наличии нескольких тепловых потоков, действующих через отдельные граничные поверхности.

Известно: W – объем объекта; , с_т – плотность и теплоемкость материала объекта; S_Гi и _бi – площадь граничной поверхности и соответствующий коэффициент теплоотдачи между i-ой боковой поверхностью и средой (i = 1.. n); T₀ – начальная температура объекта; T_сб – температура внешней среды.

Требуется найти зависимость температуры объекта от времени.

НУ:

Решение уравнения:

Получилось уравнение, аналогичное тому, что решали в предыдущем примере. Заменим константу С на неизвестную функцию u(t).

. Подставим эти значения в неоднородное уравнение

Тогда

Константу интегрирования найдем из начального условия

Отсюда .

Тогда