Аналитическое решение распределенных статических одномерных моделей

Закон сохранения субстанций для статических одномерных моделей имеет вид:

или

С учетом выражений для потоков субстанций (5) и (6)

Если принять линейную зависимость параметра скорости внутренней генерации от величины запаса субстанции в системе, то закон сохранения примет вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (11)

Если скорость движения среды V_x =const, получим

где

Напомню, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно получить, суммируя общее решение соответствующего однородного уравнения (y_o) с частным решением неоднородного уравнения (y*). Для нахождения общего решения однородного уравнения надо решить алгебраическое (характеристическое) уравнение. В нашем случае это квадратное уравнение В зависимости от вида корней характеристического уравнения общее решение однородного уравнения примет вид:

Если корни действительные и r₁ r₂,

Если корни действительные и r₁=r₂= ,

Если корни комплексные сопряженные где ,

.

Найдем частные решения неоднородного уравнения.

Если правая часть где – многочлен степени m, а k не является корнем характеристического уравнения, то , где – некоторый многочлен той же степени m.

Если правая часть где – многочлен степени m, а k является одним из неравных корней характеристического уравнения, то , где – некоторый многочлен той же степени m.

Если правая часть где – многочлен степени m, а k дважды является корнем характеристического уравнения, то , где – некоторый многочлен той же степени m.

В нашем случае правая часть уравнения представляет собой константу, т.е. многочлен нулевой степени, а k = 0. Т.к. p  0 и q  0, то корень характеристического уравнения не может быть равен 0. Тогда частное решение неоднородного уравнения y* будет представлять собой константу: . Подставим это решение в уравнение и вычислим A.

При Su=const . Тогда уравнение примет вид

Частное решение неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения:

• при действительных и неравных r₁ и r₂

(12)

• при действительных и равных r₁ и r₂

; (13)

• при комплексных сопряженных корнях

. (14)

Граничные условия задаем по левой x = x_a и правой x = x_b границам одномерной распределенной области системы. При этом для определенности будем считать направление вектора-градиента поверхности границы в сторону от рассматриваемой системы, т.е. на границе S_га этот вектор отрицательный и направлен влево, а на границе S_гb – положительный и направлен вправо:

Постоянные c₁ и c₂ определяются из граничных условий. Например, для случая действительных и разных корней r₁ и r₂ необходимо решить систему уравнений: