Дивергентная форма законов сохранения субстанций

С корость изменения субстанции в элементарном объеме среды равна сумме интенсивностей изменения потоков субстанции вдоль координатных осей между границами объема и скорости «генерации» или «уничтожения» субстанции внутри самого объема.

или

(7)

Выражение (7) является основополагающим при построении любых видов математических моделей для различных физических систем. Например, для газодинамической системы уравнение сохранения массы (вещества) (Su = , ) для распределенной динамической модели будет иметь вид:

Формирование граничных условий для распределенных мм

Граничные условия определяют характер взаимодействия физической системы с соседними системами на основе использования известных законов, отражающих связь физических переменных по поверхности границы На рисунке показаны возможные способы формирования граничных условий.

а) ГУ как переменные состояния на границе

б) ГУ как связи между потоками субстанций и переменными действия на границе

в) ГУ, выражающие граничную непроницаемость

а) Граничные условия задаются как известные переменные состояния на границе между физическими системами:

Следует отметить, что такая форма задания ГУ имеет ограниченное применение, особенно при моделировании реальных объектов, включающих множество взаимодействующих физических систем, на границе которых значения переменных состояния, как правило, не известны.

б) Граничные условия задаются как связи между проекцией вектора потока субстанции на нормальный вектор к поверхности границы (вектор-градиент граничного функционала) и переменными действия в направлении нормального вектора:

(8)

В левой части выражения (8) записано скалярное произведение указанных выше векторов.

– переменная действия, отнесенная к единице площади границы между системами в направлении нормали к поверхности в рассматриваемой точке.

в) Условие граничной субстанциональной непроницаемости означает исключение проникновения субстанции через границу, т.е. вектор потока субстанции должен быть направлен по касательной к ее поверхности. Для этого записывается условие ортогональности векторов потока субстанции и градиента к поверхности как равенство нулю их скалярного произведения:

. (9)

Напомню, что скалярное произведение двух векторов – это скаляр, величина которого равна произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Использование параметра внутренней генерации субстанции для сокращения размерности модели

Мы живем в трехмерном мире, поэтому математические модели реальных процессов тоже должны быть трехмерными в пространстве. Однако, чем больше размерность математической модели, тем она становится сложнее. На этапе составления ММ это усложнение выражается в ее громоздкости, но на этапе ее решения трудности возрастают явно нелинейно по отношению к размерности модели. Поэтому, с целью упрощения решения задач анализа моделей, при сохранении приемлемой достоверности и точности результатов целесообразно уменьшить пространственную размерность моделей за счет использования свойств геометрической симметрии области системы.

Например, если область системы представляет собой канал круглого поперечного сечения, симметричный относительно оси z, то целесообразно рассматривать задачу не в прямоугольной {x, y, z}, а в цилиндрической системе координат {r, , z}. В этом случае можно предполагать, что угловая координата  не будет влиять на параметры процесса, и можно перейти от объемной к плоской задаче. Если можно пренебречь изменением параметров системы по радиальной координате, то от двухмерной модели в координатах { r, z } можно перейти к одномерной, зависящей только от z. При постоянной площади поперечного сечения области системы такой переход выглядит вполне обоснованным. Но подобное упрощение ММ возможно и при области системы с переменной площадью поперечного сечения за счет учета составляющей потока субстанции в радиальном направлении через параметр, характеризующий скорость внутренней генерации или уничтожения субстанции в дивергентной форме закона сохранения (7).

Н а рисунке показана осесимметричная область, ограниченная боковой поверхностью S_rб (r, z). Выделенный объем dW толщиной dz считаем сосредоточенной элементарной подсистемой с осредненными физическими переменными.

Интенсивность изменения потока субстанции в направлении оси r можно условно представить через скорость изменения субстанции в объеме среды через элементарную боковую поверхность где – периметр симметричной области, изменяющийся по длине.

(10)