Математические модели, их свойства и состав

Математическая модель (ММ) представляет собой логическую знаковую конструкцию вида , включающую уже известные проектные параметры: – вектор внутренних параметров, – вектор физических переменных, – вектор выходных параметров.

Распределенные ММ отражают процессы, протекающие в пространственной сплошной среде, при этом физические переменные изменяются в зависимости от координат пространства и в каждой отдельной точке принимают свои значения: .

В зависимости от размерности исследуемого пространства различают одномерные, двумерные и трехмерные модели.

Если модель описывает физический процесс, развивающийся во времени, то ММ является динамической, в противном случае, когда время не влияет на исследуемый процесс, – статической.

ММ представляет собой системы уравнений в частных производных (СУЧП) первого или второго порядка, начальные условия (НУ) (для динамических ММ) и граничные условия (ГУ).

(1)

Для статических одномерных моделей используются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) второго порядка:

(2)

Сосредоточенные ММ предполагают осреднение переменных по всей области физической системы, т. е. их независимость от координат пространства.

Динамические сосредоточенные модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого (СОДУ) порядка, дополненные начальными условиями:

(3)

Статические модели – это системы алгебраических или трансцендентных уравнений (САУ, СТУ):

(4)

Параметрические ММ представляют собой аналитически выраженные непосредственные зависимости выходных параметров объекта от внутренних параметров и строятся без использования фундаментальных положений и физических переменных на основе теории планирования и проведения экспериментов с физическими или логическими моделями объектов .

Понятие субстанций, их формы и потоки

Прежде всего, остановимся на термине «субстанция». Это философский термин, который означает сущность; то, что лежит в основе; то, что существует самостоятельно, само по себе. Традиционно философы выделяют два вида субстанции – Дух и Материю в соответствии с двумя ответами на основной вопрос философии. Зачем мы будем использовать этот термин? Просто надо как-то называть одним словом ряд физических понятий, для которых подобрать точный термин не удалось. Поэтому будем использовать этот термин, мысленно заключив его в кавычки.

Под субстанцией будем понимать фундаментальную физическую категорию, объединяющую переменные состояния отдельной физической системы и сохраняющую свой полный запас для совокупности взаимодействующих систем, образующих функционирующий технический объект. Субстанция, как и физические переменные, зависит от пространства и времени: Su(x, y, z, t).

Субстанция – это общее название таких величин, как:

• масса (вещество) Su(x, y, z, t) =  (x, y, z, t) [кг/м³];

• количество движения (вектор)

Su(x, y, z, t) = {Su_x; Su_y; Su_z} = {V_x; V_y; V_z} [кг/с∙м²];

• энергия

Su(x, y, z, t) = e(x, y, z, t) = [Дж/м³].

Представленные формы субстанций отнесены к единице объема физической среды. Полная удельная энергия показана как сумма гравитационной, кинетической, деформационной и тепловой составляющих.

Как вы, наверное, уже заметили, для субстанций существуют известные законы сохранения.

Передача субстанций в среде физических систем и по границам между системами обусловлена наличием так называемых потоков субстанций.

Макропоток обеспечивает передачу субстанции вместе с частицами подвижной жидкой или газообразной среды, а также с механическими макросистемами. Макропоток определяется запасом субстанции и скоростью движения среды:

(5)

Микропоток характеризует передачу субстанции между соседними частицами среды и пропорционален интенсивности изменения субстанции вдоль координатного направления. Например, составляющая микропотока вдоль оси x определяется как: где k_Su – коэффициент субстанциональной проницаемости среды.

Вектор микропотока можно записать как . (6)