Метод Рунге-Кутты

Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название «методы Рунге-Кутта») – важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками Карлом Рунге и Мартином Вильгельмом Куттой.

Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах стандартная схема четвёртого порядка. 

Метод Рунге-Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты.

Рассмотрим задачу Коши

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

(79)

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где h – величина шага сетки по x.

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок (ошибка на каждом шаге порядка  ).

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений все вычисляется аналогично:

где (80)

Численные методы анализа распределенных одномерных статических моделей

Данные модели включают системы дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями на левом и правом краях одномерной физической области, что обуславливает их название, как «краевые» задачи:

(81)

Рассмотрим методы решения подобных моделей.

Метод пристрелки является универсальным как для численного решения линейных, так и нелинейных уравнений и носит итерационный характер. Алгоритм этого метода основан на замене дифференциальных уравнений второго порядка двумя уравнениями первого порядка и выполнении ряда последовательных решений задач Коши с варьируемыми начальными условиями.

Уравнение второго порядка с граничными условиями слева и справа

представим в виде двух уравнений:

Каждое решение задачи Коши при заданном начальном условии по углу наклона касательной в начальном левом узле сетки дает значение сеточной функции в крайнем правом узле и оценка сходимости метода проводится по наличию отклонения этого значения от точного граничного условия на правой границе. После выполнения определенного числа итераций (решений задачи Коши на сетке) полученная сеточная функция в достаточной степени приближается к точному решению, что оценивается условием: .

Проиллюстрируем алгоритм метода пристрелки.

Метод конечных разностей используется для численного решения линейных дифференциальных уравнений и основан на принципе аппроксимации производных.

(82)

Уравнения вида (82), записанные для всех внутренних узлов сетки i = 1..n образуют систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.

(83)

Для решения системы (83) используется метод прогонки.

Численные методы анализа

распределенных многомерных моделей

Численные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных для распределенных моделей основываются на конечно-разностных аппроксимациях производных на многомерных сетках с использованием так называемых «шаблонов», то есть пространственных узловых конструкций, форма которых определяется видом и размерностью моделей.

Численный анализ моделей для газодинамических систем

Одномерная динамическая модель

Рассмотрим пространственно-временную сетку и шаблоны «правый нижний уголок» и «правый верхний уголок», используемые для численного исследования процесса течения газа в одномерном газопроводе с узлами «i,k». Принцип аппроксимации производных покажем на примере уравнения сохранения вещества, считая, что в пределах размеров одной ячейки сетки скорость течения газа положительна и постоянна V_x > 0.

Для шаблона «правый нижний уголок»:

(84)

Константа шаблона характеризует соотношение между размерами ячейки и скоростями распространения волн возмущения в газовом потоке. При этом устойчивость метода зависит от размеров ячейки и оценивается критерием Куранта, согласно которому перемещение фронта волны возмущения, имеющего скорость , за интервал времени h_t не должно превышать величины размера ячейки h_x, т. е. Таким образом, константа шаблона, обеспечивающая достаточную устойчивость численного метода, определяется из условия Куранта с учетом введения коэффициента запаса по устойчивости:

Для шаблона «правый верхний уголок»:

(85)

Начальные условия задаются в узлах сетки:

Граничные условия:

Соответствующие шаблоны для аппроксимации уравнений двумерной динамической модели:

i, j -1,k+1

i,j,k+1

t

i,j,k+1

x

i-1, j ,k+1

i,j-1,k

y

i,j,k

i,j,k

i-1,j,k

Для первого из этих шаблонов:

(86)

для второго

(87)

Начальные условия:

Граничные условия:

Для трехмерной динамической модели шаблонов по понятным соображениям не существует, но разностные уравнения записать можно, опираясь на выражения (84) - (87).