Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений используются только итерационные численные методы. Рассмотрим два из них.

Метод простых итераций

Систему нелинейных уравнений можно записать в виде

(60)

Если неизвестные  и функции   рассматривать как n-мерные векторы  ,  то систему (60) можно записать кратко в векторном виде  .

Систему исходных уравнений (60) представим в эквивалентном виде, удобном для проведения итераций:

      (61)

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на осях, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Если известно какое-то приближенное значение решения системы уравнений:  , то последующие приближения решения можно вычислить методом простой итерации по алгоритму:

       (62)

либо методом, для линейных систем алгебраических уравнений, с использованием в текущей итерации ранее вычисленных компонент вектора:

k=1,2,…

Итерационный процесс продолжается до выполнения условия сходимости итераций , где  _V – малая величина, погрешность решения.

В векторном виде систему уравнений (61) можно записать кратко в виде

,

а итерационный алгоритм (62) в виде

Если данный итерационный процесс сходится, то он сходится к решению системы уравнений.

Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы норма производной вектор-функции была меньше некоторого положительного числа   в некоторой окрестности   области решения системы, из которой не выходят приближенные значения   при итерации

 .    (63)

Следует обратить внимание на способ записи уравнений. Рассмотрим на примере. Пусть задано одно нелинейное уравнение Как вы понимаете, точные значения его корней В требуемой итерационной форме это уравнение можно записать по-разному:

1. 

2. 

3. и т.п.

Есть ли разница при численном решении? Чтобы ответить на данный вопрос, вычислим производные от правых частей этих выражений в начальной точке :

1. 2. ; 3.

Нормой этой производной является его модуль. Как мы видим, условие сходимости итерационного процесса выполняется только в третьем случае. При приближении к решению норма производной в первом случае только увеличится, т.е. итерационный процесс будет расходящимся. Во втором случае норма производной тоже больше 1, итерационный процесс тоже будет расходящимся. Но можно заметить, что если начальную точку взять больше 3, то норма производной станет меньше 1 и процесс будет сходящимся. Но сходиться он будет медленно, т.к. по мере приближения к решению норма производной будет стремиться к 1. В третьем случае итерационный процесс сходится, причем очень быстро, т.к. при приближении к решению норма производной стремится к 0.