Метод lu-разложения матрицы коэффициентов

Метод основан на представлении матрицы системы в виде произведения двух матриц , где L – нижнетреугольная матрица с единичной диагональю, а U – верхнетреугольная матрица.

Запишем систему в виде .

Обозначим , (52)

тогда . (53)

Порядок заполнения матриц L и U:

1. Заполняем диагональ матрицы L единицами;

2. Заполняем элементы обеих матриц, равные 0;

3. Заполняем первую строку матрицы U соответствующими элементами матрицы А;

4. Заполняем первый столбец матрицы L элементами, равными , i = 2..n;

5. Поочередно заполняем строки матрицы U и столбцы матрицы L, пользуясь формулами

Решаем сначала систему (53), находим последовательно w₁, w₂, …, w_n, а потом систему (52), находим последовательно v_n, v_n-1, …, v₁.

Для повышения точности вычислений также требуется перестановка уравнений таким образом, чтобы по диагонали стояли наибольшие коэффициенты.

Метод особенно удобен при решении множества систем уравнений, у которых отличаются только правые части. В этом случае разложение матрицы выполняется только один раз, а решение уравнений сводится только к решению систем (52) и (53).

Метод прогонки

Метод используется для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Система уравнений имеет вид:

. (54)

Метод базируется на линейных зависимостях между значениями переменных: , (55)

где – прогоночные коэффициенты, соответствующие i-ому уравнению.

Метод включает также два хода:

• прямой ход – вычисление прогоночных коэффициентов для всех i = 1..n-1;

• обратный ход – последовательный расчет всех переменных, начиная с последнего уравнения.

В соответствии с выражением (54) первое уравнение записывается:

Отсюда Т.о., прогоночные коэффициенты для первого уравнения: (56)

Запишем второе уравнение системы: или Тогда

Т.о., для всех уравнений системы, начиная со второго, прогоночные коэффициенты рассчитываются по зависимостям:

(57)

Обратный ход. Запишем последнее уравнение системы: или Тогда

. (58)

Далее определяются все остальные переменные, используя принятые линейные зависимости (55).

Метод Гаусса-Зейделя

Это один из итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, поэтому требуется задать начальную точку итерационного процесса

Система уравнений на k-ой итерации преобразована в форму явных зависимостей, позволяющих последовательно определять все переменные следующей итерационной точки.

(59)

Сходимость метода на текущей операции оценивается уменьшением длины вектора невязок системы уравнений: Решение системы уравнений считается найденным, если выполняется условие требуемой точности вычислений: . Иногда принимают упрощенное условие окончания итерационного процесса , где обозначена норма вектора, характеризующая его длину. Существует три общепринятых нормы векторов:

1. ; 2. ; 3. . Какую из этих норм принять – вопрос не принципиальный.

Несколько замечаний.

1. Метод особенно эффективен на задачах большой размерности с разреженными матрицами [A], требует меньшего объема оперативной памяти и машинного времени.

2. Метод применим не для любой системы линейных уравнений, т.к. решение может не сходиться, т.е. последующая итерация дает большую невязку, чем предыдущая. Условие сходимости итерационного процесса – все корни _i уравнения по модулю должны быть меньше 1. Найти эти корни порой непросто, поэтому другой достаточный вариант условия сходимости итерационного процесса – это диагональное доминирование:

3. Учитывая замечание 2, требуется подготовка системы линейных уравнений к расчету, которая состоит в перестановке уравнений таким образом, чтобы наибольшие по модулю коэффициенты стояли на диагонали матрицы.