Поверхностный интеграл II рода
1. Основные понятия, свойства
Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода.
Пусть задана двусторонняя поверхность
(плоскость, эллипсоид, любая поверхность,
заданная уравнением
,
где
,
и
– функции, непрерывные в некоторой
области
плоскости
и т.д.). После обхода такой поверхности,
не пересекая ее границы, направление
нормали к ней не меняется.
Примером односторонней поверхности
является лист Мёбиуса, получающийся
при склеивании сторон
и
прямоугольника
так, что точка
совпадает с точкой
,
а
– с
(см. рис.7).
Пусть
в точках двусторонней поверхности
пространства
определена непрерывная функция
.
Выбранную сторону поверхности (говорят,
поверхность ориентирована) разбиваем
на
частей
,
,
и проектируем их на координатные
плоскости. При этом площадь проекции
берем со знаком "плюс", если выбрана
верхняя сторона поверхности, или, что
тоже самое, если нормаль
к выбранной стороне поверхности
составляет с осью
острый угол, т.е.
(см. рис.8, а)); со знаком "минус",
если выбрана нижняя сторона поверхности,
или если нормаль
к выбранной стороне поверхности
составляет с осью
тупой угол, т.е.
(см. рис.8, б)).
В этом случае интегральная сумма имеет вид
,
(12)
где
– площадь проекции
на плоскость
.
Очевидно отличие интегральной суммы
(12) от интегральной суммы (1).
Предел интегральной суммы (12) при
,
если он существует и не зависит от
способа разбиения поверхности
на части
и
от выбора точек
,
называется поверхностным интегралом
II рода
(по координатам) от функции
по переменным
и
по выбранной стороне поверхности и
обозначается
.
То есть,
.
Аналогично определяются поверхностные
интегралы II рода от функции
по переменным
и
,
и
,
.
Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл
,
,
где
– непрерывные функции, определенные в
точках двусторонней поверхности
.
Если
–
замкнутая поверхность, то поверхностный
интеграл по внешней стороне обозначается
,
по внутренней
.
Свойства поверхностного интеграла II рода, вытекающие из определения.
1. Поверхностный интеграл II рода меняет знак при перемене стороны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.
3. Поверхностный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме соответствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II
рода по всей поверхности
равен сумме интегралов по ее частям
и
(аддитивное свойство), если
и
пересекаются только по границе, их
разделяющей.
5. Если
,
и
– цилиндрические поверхности с
образующими параллельными соответственно
осям
,
,
,
то
.