726,732-734

Г П 726

1. 27 вы­пуск­ни­ков школы со­би­ра­ют­ся учить­ся в тех­ни­че­ских вузах. Они со­став­ля­ют 30% от числа вы­пуск­ни­ков. Сколь­ко в школе вы­пуск­ни­ков?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена пла­ти­ны, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни во все ра­бо­чие дни с 1 по 27 ок­тяб­ря 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена пла­ти­ны в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую цену пла­ти­ны в пе­ри­од с 1 по 13 ок­тяб­ря. Ответ дайте в руб­лях за грамм.

3. Не­за­ви­си­мая экс­перт­ная ла­бо­ра­то­рия опре­де­ля­ет рей­тин­ги бы­то­вых при­бо­ров   на ос­но­ве сред­ней цены   а также оце­нок функ­ци­о­наль­но­сти  , ка­че­ства   и ди­зай­на  . Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся экс­пер­та­ми по 5 − балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от о до 4. Ито­го­вый рей­тинг вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

В таб­ли­це даны оцен­ки каж­до­го по­ка­за­те­ля для не­сколь­ких мо­де­лей элек­три­че­ских мя­со­ру­бок. Опре­де­ли­те, какая мо­дель имеет наи­выс­ший рей­тинг. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние этого рей­тин­га.

Мо­дель мя­со­руб­ки	Сред­няя цена	Функ­ци­о­наль­ность	Ка­че­ство	Ди­зайн
А	4800	4	1	4
Б	3700	2	2	2
В	3800	4	4	2
Г	6000	4	1	3

4. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

5 . Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Физик» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх «Физик» вы­иг­ра­ет жре­бий ровно два раза.

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  .

7. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°,  ,  .

Най­ди­те  .

8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик

функ­ции  . Функ­ция

   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной

фи­гу­ры.

9. Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль. 10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

11. Сила тока в цепи   (в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся на­пря­же­ни­ем в цепи и со­про­тив­ле­ни­ем элек­тро­при­бо­ра по за­ко­ну Ома: , где   — на­пря­же­ние в воль­тах,   — со­про­тив­ле­ние элек­тро­при­бо­ра в омах. В элек­тро­сеть включeн предо­хра­ни­тель, ко­то­рый пла­вит­ся, если сила тока пре­вы­ша­ет 2,5 А. Опре­де­ли­те, какое ми­ни­маль­ное со­про­тив­ле­ние долж­но быть у элек­тро­при­бо­ра, под­клю­ча­е­мо­го к ро­зет­ке в 220 вольт, чтобы сеть про­дол­жа­ла ра­бо­тать. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

12. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де   ребро  , ребро  , ребро  . Точка   — се­ре­ди­на ребра   Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки   и  .

13. Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 8 часов. Через 4 часа после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

14. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

16. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти A₁BT, где T — се­ре­ди­на ребра AD.

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

18. В тре­уголь­ни­ке   из­вест­ны сто­ро­ны:      . Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки   и  , пе­ре­се­ка­ет пря­мые   и   со­от­вет­ствен­но в точ­ках   и  , от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок   ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник  . Най­ди­те длину от­рез­ка  .

19. 31 де­каб­ря 2014 года Ти­мо­фей взял в банке 7 007 000 руб­лей в кре­дит под 20% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%), затем Ти­мо­фей пе­ре­во­дит в банк платёж. Весь долг Ти­мо­фей вы­пла­тил за 3 рав­ных пла­те­жа. На сколь­ко руб­лей мень­ше он бы отдал банку, если бы смог вы­пла­тить долг за 2 рав­ных пла­те­жа?

20. Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

21. На окруж­но­сти не­ко­то­рым спо­со­бом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 1 до 21 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 11?

б) Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 10?

в) По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­ших через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Г П 734

1. При опла­те услуг через пла­теж­ный тер­ми­нал взи­ма­ет­ся ко­мис­сия 8%. Тер­ми­нал при­ни­ма­ет суммы, крат­ные 10 руб­лям. Аня хочет по­ло­жить на счет сво­е­го мо­биль­но­го те­ле­фо­на не мень­ше 500 руб­лей. Какую ми­ни­маль­ную сумму она долж­на по­ло­жить в при­ем­ное устрой­ство дан­но­го тер­ми­на­ла?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Бре­сте каж­дый день с 6 по 19 июля 1981 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­су­точ­ны­ми тем­пе­ра­ту­ра­ми за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Для остек­ле­ния му­зей­ных вит­рин тре­бу­ет­ся за­ка­зать 24 оди­на­ко­вых стек­ла в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,35 м². В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло и на резку сте­кол. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?  

Фирма	Цена стек­ла (руб. за 1 м2)	Резка стек­ла (руб. за одно стек­ло)	До­пол­ни­тель­ные усло­вия
A	300	16	—
B	290	19	—
C	330	6	При за­ка­зе на сумму боль­ше 3000 руб. резка бес­плат­но.

4. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

5 .  Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 80 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 8 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

6. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  .

7 . Через концы  ,   дуги окруж­но­сти в   про­ве­де­ны ка­са­тель­ные  и  . Най­ди­те угол  . Ответ дайте в гра­ду­сах.

8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой  . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции   в точке 

9 . В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если её пе­ре­лить во вто­рой ци­лин­дри­че­ский сосуд, диа­метр ос­но­ва­ния ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше диа­мет­ра ос­но­ва­ния пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

10. Най­ди­те  , если  .

11. В ро­зет­ку элек­тро­се­ти под­клю­че­ны при­бо­ры, общее со­про­тив­ле­ние ко­то­рых со­став­ля­ет   Ом. Па­рал­лель­но с ними в ро­зет­ку пред­по­ла­га­ет­ся под­клю­чить элек­тро­обо­гре­ва­тель. Опре­де­ли­те наи­мень­шее воз­мож­ное со­про­тив­ле­ние   этого элек­тро­обо­гре­ва­те­ля, если из­вест­но, что при па­рал­лель­ном со­еди­не­нии двух про­вод­ни­ков с со­про­тив­ле­ни­я­ми   Ом и   Ом их общее со­про­тив­ле­ние даeтся фор­му­лой   (Ом), а для нор­маль­но­го функ­ци­о­ни­ро­ва­ния элек­тро­се­ти общее со­про­тив­ле­ние в ней долж­но быть не мень­ше 18 Ом. Ответ вы­ра­зи­те в омах.

1 2. Вы­со­та ко­ну­са равна 12, об­ра­зу­ю­щая равна 15. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на  .

13. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 13-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

14. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

16.  В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме   все ребра ко­то­рой равны  най­ди­те рас­сто­я­ние от точки   до пря­мой 

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

18. Окруж­ность ра­ди­у­са   впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 12. Най­ди­те MN.

19. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

20. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра  , при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции   боль­ше 

21. Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более   от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более   от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

 

а) Могло ли быть в груп­пе 10 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков МОГЛО быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?

Г П 733

1. Для при­го­тов­ле­ния ма­ри­на­да для огур­цов на 1 литр воды тре­бу­ет­ся 12 г ли­мон­ной кис­ло­ты. Ли­мон­ная кис­ло­та про­да­ет­ся в па­ке­ти­ках по 10 г. Какое наи­мень­шее число пачек нужно ку­пить хо­зяй­ке для при­го­тов­ле­ния 6 лит­ров ма­ри­на­да?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ека­те­рин­бур­ге (Сверд­лов­ске) за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, на сколь­ко гра­ду­сов Цель­сия март был в сред­нем хо­лод­нее ав­гу­ста.

3. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 45 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,35 м². В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ? 

Фирма	Цена стек­ла (руб. за 1 кв. м)	Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)
А	480	75
Б	500	65
В	520	55

4.  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 12. DE – сред­няя линия, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABDE.

5 . На эк­за­ме­не 40 во­про­сов. Дима не вы­учил 6 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

6.  Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  .

7. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°,  . Най­ди­те 

8. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 12). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.

9. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна  , а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния.

10. Най­ди­те  , если  .

11.  Ав­то­мо­биль, масса ко­то­ро­го равна   кг, на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, ко­то­рое в те­че­ние t се­кунд остаeтся не­из­мен­ным, и про­хо­дит за это время путь   мет­ров. Зна­че­ние силы (в нью­то­нах), при­ло­жен­ной в это время к ав­то­мо­би­лю, равно  . Опре­де­ли­те наи­боль­шее время после на­ча­ла дви­же­ния ав­то­мо­би­ля, за ко­то­рое он пройдeт ука­зан­ный путь, если из­вест­но, что сила F, при­ло­жен­ная к ав­то­мо­би­лю, не мень­ше 1200 Н. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

12. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен  , а вы­со­та равна 2.

13. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 19-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

14. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

15. а) Ре­ши­те урав­не­ние  .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

 

16. Пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки   и   лежат в пер­пен­ди­ку­ляр­ных плос­ко­стях,  Точка   — се­ре­ди­на  , а точка   делит от­ре­зок   так, что   Вы­чис­ли­те объём пи­ра­ми­ды 

17. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

18. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD= R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если из­вест­но, что R= 5 и CD =15.

19. В 1-е клас­сы по­сту­па­ет 43 че­ло­ве­ка: 23 маль­чи­ка и 20 де­во­чек. Их рас­пре­де­ли­ли по двум клас­сам: в одном долж­но по­лу­чить­ся 22 че­ло­ве­ка, а в дру­гом ― 21. После рас­пре­де­ле­ния по­счи­та­ли про­цент маль­чи­ков в каж­дом клас­се и по­лу­чен­ные числа сло­жи­ли. Каким долж­но быть рас­пре­де­ле­ние по клас­сам, чтобы по­лу­чен­ная сумма была наи­боль­шей?