1. Требования к частотным характеристикам проектируемого фильтра

Для определения частотной характеристики фильтра используются следующие параметры:

• – максимально допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания:

• – максимально допустимая неравномерность АЧХ в полосе задерживания:

• – граничная частота полосы пропускания

• – граничная частота полосы задерживания

• – частота дискретизации сигнала

Граничные частоты часто используются в нормированной форме, то есть как доля от частоты дискретизации:

Изобразим эти требования графически в виде характеристики АЧХ и характеристики ослабления:

Рисунок 2.1 – Амплитудно-частотная характеристика.

Рисунок 2.2 – Характеристика ослабления.

2. Методы проектирования рекурсивных цифровых фильтров

Процесс проектирования рекурсивного фильтра заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим Z-преобразованием для перехода в Z-область.

Этапы разработки рекурсивных фильтров:

1. Задание частотной характеристики или передаточной функции фильтра.

2. Аппроксимация или расчет коэффициентов и передаточной функции фильтра. Этот этап может выполняться различными методами:

• Метод размещения нулей и полюсов на комплексной z-плоскости.

• Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.

• Согласованное Z-преобразование.

• Билинейное Z-преобразование.

• И другие…

3. Выбор структуры реализации фильтра – параллельная или последовательная (каскадная), блоками второго и/или первого порядка.

4. Анализ ошибок.

5. Программное или аппаратное обеспечение реализации фильтра.

На этом этапе выбирается метод аппроксимации, который затем используется для расчета коэффициентов a_i и b_m в выражении

при которых спецификации частотной характеристики, полученные на первом этапе разработки, будут удовлетворительны.

Для простого получения коэффициентов БИХ-фильтра можно ра­зумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости z, чтобы по­лучающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристи­ку. Данный подход известный, как метод размещения нулей и полюсов, полезен только при разработке простых фильтров, например, узкопо­лосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие, как нерав­номерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно.

Более эффективный подход - вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий требованиям спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой. Большинство цифровых БИХ-фильтров раз­рабатываются именно так. Рассмотрим некоторые методы.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.

В данном методе с помощью обратного преобразования Лапласа из подходящей аналоговой передаточной функции получают импульсную характеристику аналогового фильтра . Затем дискретизируется, а полученная функция (где – интервал дискретизации) подвергается Z-преобразованию и даёт желаемую передаточную функцию . Очевидно, в этом методе характеристики и идентичны (инвариантны) в момент взятия выборок.

Рисунок 3.1 – Импульсная характеристика аналогового фильтра .

Рисунок 3.2 – Импульсная характеристика эквивалентного цифрового фильтра.

Методом билинейного преобразования переходной характеристики.

Билинейное преобразование – это метод преобразования частотной области передаточной функции аналогового фильтра в в цифровой фильтр Преобразование происходит за счет замены переменных

Оно называется билинейным, потому что и числитель и знаменатель данного преобразования являются линейными функциями от . Для того, чтобы понять эффект преобразования, положим, что – нормированная частота аналогового фильтра, а – нормированная частота цифрового фильтра. Частотная характеристика цифрового фильтра может быть получена из путем замены , а для аналогового фильтра путём замены в

Аналоговые и цифровые частоты соотносятся выражением

Следует иметь в виду, что частотная характеристика аналогового фильтра определяется на всей положительной полуоси частот от до , в то время как у цифрового фильтра она имеет тот же смысл только до частоты , т.е. до . Ясно, что шкала частот цифрового фильтра оказывается деформированной относительно шкалы частот аналогового фильтра. На рисунке 2.3 проиллюстрировано явление деформации АЧХ цифрового фильтра при билинейном преобразовании. Из рисунка видно, что на частоте АЧХ цифрового фильтра достигает того же значения, которое частотная характеристика аналогового фильтра имела бы на бесконечной частоте.

Рисунок 3.3 – Деформация АЧХ фильтра при билинейном преобразовании:

а) АЧХ аналогового ФНЧ; б) АЧХ цифрового ФНЧ

На рисунке 2.4 изображена зависимость (2.3) и проиллюстрировано явление деформации частотной шкалы. Слева показана идеализированная АЧХ аналогового полосового фильтра с двумя полосами пропускания, равными по величине, но противоположными в разных частотных диапазонах. Полученный ЦФ будет иметь также две полосы пропускания, но ширина последней в области верхних частот будет существенно меньше ширины ПП в области нижних частот.

Из рисунка видно, что в области нижних частот, где функция мала, частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров почти совпадают. Далее по мере ускорения роста функция тангенса, частотная характеристика дискретного фильтра все сильнее сжимается по горизонтали (по сравнению с аналоговым прототипом).

Рисунок 3.4 – Связь между аналоговыми и цифровыми частотами.

Выход, однако, чрезвычайно прост. Деформация шкалы частот не приводит к нарушению избирательных свойств при билинейном преобразовании (и это главное). А деформацию шкалы частот можно скомпенсировать с помощью предыскажений в аналоговом фильтре.

Компенсация эффекта деформации может осуществляться путем предварительного искажения шкалы частот аналогового фильтра противоположным образом, так, чтобы после применения билинейного Z-преобразования критические частоты были сдвинуты назад, к требуемым значениям.

Предыскажения, или масштабирование шкалы аналоговой частоты осуществляется путем замены на новое значение. Покажем, как это сделать. Во многих справочниках по расчету аналоговых фильтров граничная частота полосы пропускания принимается равной

Чтобы частоты (или ) цифрового фильтра пересчитывалась в , коэффициент γ нужно взять равным

Подводя итог, можно отметить следующие характеристики билинейного преобразования:

• Если аналоговый фильтр-прототип является устойчивым, то результирующий цифровой фильтр также будет устойчивым;

• Порядок цифрового фильтра равен порядку аналогового прототипа;

• Частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа совпадает с частотной характеристикой преобразованного цифрового фильтра, что означает: если аналоговый фильтр-прототип является фильтром нижних частот, то и цифровой фильтр также будет фильтром нижних частот. Отсюда другое название метода- метод инвариантности частотных характеристик;

• При билинейном преобразовании не сохраняются ни импульсная, ни фазо-частотная характеристики аналогового фильтра-прототипа.

Таким образом, билинейное преобразование позволяет получить передаточную функцию устойчивого цифрового фильтра, АЧХ которого удовлетворяет определенным требованиям избирательности.