С
ОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 6
2. ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА 8
3. СХЕМА ПРОГРАММЫ 11
4. СПИСОК ПЕРЕМЕННЫХ И ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ 19
5. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ 20
6. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР, РАССЧИТАННЫЙ ВРУЧНУЮ И В ПРОГРАММЕ 26
7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 30
Задание на курсовую работу
Написать программу на языке QBASIС, реализующую следующий численный метод:
Метод Данилевского для отыскания характеристического полинома матрицы.
Примечание. Этот метод в литературе имеет и другое название: «Метод решения алгебраических проблем собственных значений матрицы».
Введение
Численные методы (алгоритмы) решения математических задач являются предметом вычислительной математики и возникают при исследовании реальных объектов методом математического моделирования.
Виды численных методов:
Прямые – решение получают за конечное число арифметических действий.
Итерационные – точное решение может быть получено теоретически в виде предела бесконечной сходящейся последовательности вычислений.
Вероятностные – методы случайного поиска решения (угадывания).
Все виды численных методов позволяют получить только приближенное решение задачи, то есть численное решение всегда содержит погрешность.
В курсовой работе реализован итерационный метод.
Принципы, общие для итерационных методов решения задач вычислительной математики:
Исходная задача заменяется другой задачей – вычислительным алгоритмом по формулам, где используются только арифметические операции +
.
Число итераций влияет на точность решения.
Решение, полученное итерационным методом, всегда является приближенным, так как точное решение получить невозможно – нужны бесконечные вычисления.
1. Методы решения алгебраических проблем собственных значений
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным значением системы.
С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Первым алгоритмом, решающим задачу собственных значений для симметричной матрицы размером NxN, был алгоритм Якоби, приводящий матрицу к диагональной форме ортогональными преобразованиями. По мере осуществления преобразований исходной матрицы, элементы за пределами главной диагонали уменьшались, а на главной диагонали - увеличивались. Естественным результатом этого процесса является матрица, у которой внедиагональные элементы равны нулю, а на диагонали находятся собственные значения.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел и соответствующих им собственных векторов v. Достаточно часто возникают задачи поиска наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений квадратной матрицы - знание таких характеристик матрицы позволяют, например, делать заключения о сходимости итерационных процессов, оптимизировать параметры итерационных методов, учитывать влияние на результаты решения алгебраических задач погрешностей исходных данных. Другой пример: имеется матрица размера 5000*5000, в каждой строке которой содержится порядка десяти отличных от нуля элементов (разреженная матрица), и требуется найти только несколько, может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему.