Шпоры ВычМат Хорошие! [2424 вопросов] / 21

21.Изложите метод Нелдера-Мида. Его геометрическая интерпретация.

Метод деформируемого многогранника - Нелдера-Мида (развитие сим-

плексного метода Спендли, Хекста и Химсворта) является одним из самых эффективных методов нулевого порядка. Симплекс - это фигура в n -мерном пространстве, имеющая n +1 вершину и n +1 грань. На плоскости - это треугольник, в n -мерном пространстве - тетраэдр. Идея метода состоит в том, что на основе анализа значений функции в вершинах симплекса выбирается очередное направление спуска, после спуска симплекс перемешается в направлении получаемой точки с меньшим значением функции по определенным правилам.

Алгоритм метода описывается следующим образом. Заданы и началь-

ный размер симплекса h .

1. Строятся вершины начального симплексаВычисляются значения функции в этих вершинах.

2. Найдем вершину с наибольшим значением , вершину

со значением , следующим за наибольшим , и вершину

с наименьшим среди значением и запоминаются m,q,p .

3. Найдем центр тяжести всех точек за исключением точки

по формуле

4. Произведем теперь спуск в направлении и получим новую точку по формуле α - коэффициент отражения, вычисляем

5. Если , т.е. направление оказалось удачным, тогда продвинемся

еще в этом направлении и получим точку , γ - коэффициент растяжения, вычислим .

5.1. Если , то заменяем точку на точку и

переходим к п.10.

5. 2. Если то отбрасываем точку (Очевидно, мы переместились

слишком далеко от ). Заменяем точку на и переходим к п. 10.

6. Если , тогда (точка лучше, чем q и p ) и

переходим к п. 10.

7. Если тогда произведем сжатие:

7.1. Если , тогда перейти к п. 7.3.

7.2. Если , тогда , , , перейти к п. 7.3.

7.3. ; ( β - коэффициент сжатия).

8. Сравним и .

8.1. Если то , , переходим на п. 10.

8.2. Если , то очевидно, все наши попытки найти точку со значением

сказались неудачными. Следовательно, надо уменьшить начальный

симплекс.

9. Редукция. Здесь возле точки строим новый симплекс, уменьшенный

в 2 раза. Каждая вершина его вычисляется по . вычисляются .

10. Проверяется условие сходимости:

11. Если σ > ε , тогда перейти к п. 2. Если ε ≤ σ, тогда процесс заканчивается и - искомые значения.

Рекомендуется выбирать следующие коэффициенты отражения α =1 , сжа-

тия β = 0,5, растяжения γ =2 .