Несобственные интегралы I рода-Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I родавыражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Несобственные интегралы II рода- Пусть   определена на  , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и 

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена на   , терпит бесконечный разрыв при x=b и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Если функция   терпит разрыв во внутренней точке   отрезка  , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II родавыражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Вопрос 8 Геометрические приложения определенного интег­рала.

Пусть требуется найти значение какой-либо геом. или физ. величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, оответствующее всему отрезку [а;Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с]. Д/нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала). I схема базируется на определении определенного интеграла.1. Точками разбить отрезок [а;b] на п частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п≪элементарныхслагаемых≫ А, (i = 1 ,... ,n): А = A1+ An. 2. Представить каждое ≪элементарноеслагаемое≫ в видепроизведения нек.f (определяемойизусловиязадачи), вычисленнойв произвольнойточкесоответствующегоотрезканаегодлину: . Принахожденииприближенногозначения , допустимынек. упрощения: дугунамаломучасткеможнозаменитьхордой, стягивающейееконцы; переменнуюскоростьнамаломучасткеможноприближенносчитатьпостоянной и т. д.Получимприближенноезначениевеличины А в видеинтегральнойсуммы и искомая величина A = пределу интегральной суммы: – этот метод основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бм слагаемых. , а т.ж. представлена для выяснения геом. И физ. Смысла определенного интгерала.II методназ≪методдифференциала≫или≪методотбрасывания

бесконечномалыхвысшихпорядков≫: 1) наотрезке [a; b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a; х]. На этом отрезке величина А становится fх: А = А (x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где х [а; b] — одинизпараметроввеличиныА; 2) находим главную часть приращения А при изменении х на малую величину x=dx, т. е. находим дифференциал dAфункции А = А(х): dA= f{x)dx, где f(x) определяемая из условия задачи, f переменной x; 3) считая, что dA А при —>0, находимискомуювеличинупутеминтегрированияdAв пределах от a до b: Понятие опр. интеграла находит свое применение на практике. В частности, при помощи опр. интегралов можно вычислять площади фигур, длины кривых, объемы тел вращения и т.д. В связи с этим, можно отметить, что определенный интеграл можно использовать только в тех случаях, когда вычисляемую величину можно представить в виде суммы ее частей. След., для таких величин можно составить интегральные суммы при помощи предельного перехода переходить к определенным интегралам.Итак, 1. вычисление площадей плоских фигур- Пусть даны две непрерывные на [a, b] функции f1(x) 6 f2(x), и нам надо найти площадь между ними в пределах отрезка [a, b]. Как это сделать, говорит следующая лемма. Лемма 1.1. Усл.- Функции f1(x) f2(x) заданы и непрерывны на [a, b]. Утв. Площадь фигуры, ограниченной графиками f1(x) и f2(x), а также прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле:

Док-во: Обозначим искомую площадь между графиками через S, площадь под графиком функции f1(x) через S1, а площадь под графиком функции f2(x) через S2. Очевидно, что S1 = S + S2. C другой стороны, . Из этих трех равенств получаем: . 2. Вычисление длины дуги кривой-Длина дуги: - предел, к к. стрем.длина ломанной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломанной неограниченно возрастает, а длина наиб. звена ее стрем. к 0.Пусть нам требуется вычислить длину дуги кривой между точками A и B, и пусть кривая эта задана одним из 3x способов: • в декартовых координатах: y = f(x), x ∈ [a b]; • в полярных координатах: r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β]; Дифференциалом дуги кривой, заданной в декартовых, полярных координатах, либо параметрическиназ величина dl: • в декартовых координатах: ; • в полярных координатах: ; Вычисление площади поверхности вращения Лемма 1.6. Усл. Кривая AB задана равенством y = f(x) 0, либо в полярных координатах, либо параметрически. Все функции, входящие в выражение для дифференциала дуги dl непрерывны. Утв. Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ox, вычисляется по формуле: .     Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь   этой фигуры совпадает с ее нижней площадью  . При этом

число   называется площадью фигуры Q.     Справедлива следующая теорема.     Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигурыQ многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых была бы меньше ε, S_d - S_i < ε.Тело  называется кубируемым, если верхний объем  этот тела совпадает с нижним объемом  . При этом число  называется объемом тела  .

Теорема: Для того чтобы тело  было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа  можно было указать такой описанный вокруг тела  многогранник и такой вписанные в тело  многогранник, разность  объемов которых была бы меньше  .

Теорема: Пусть функция  непрерывна на сегменте  . Тогда тело  , образованное вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  , ординатами в точках  и  , и отрезком оси  между точками  и  , кубируемо и его объем  может быть найден по формуле

.